Chapitre 3 – Réduction
Soit i ∈ Ú1, nÛ, comme l /
∈ D(a i,i ,
j =i
|a i,j |), nous avons
|b i,i | = |a i,i − l| >
j =i
|a i,j | =
j =i
|b i,j |.
D’après la question 1, il en résulte que B est inversible. Le scalaire l n’est donc pas valeur
propre.
Il s’ensuit que
Sp(A) ⊂
n
i=1
D(a i,i ,
j =i
|a i,j |).
3. a. D’après la question précédente toute valeur propre l de A est dans le disque
D(0, 1) ∪ D(0, 2) = D(0, 2). Cela signifie que tout valeur propre l vérifie |l| 2.
b. On recherche un vecteur non nul X =
⎛
⎜
⎝
x 1
. . .
x n
⎞
⎟
⎠ tel que (A − 2 cos(u)I)X = 0,
c’est-à-dire tel que
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
−2 cos(u)x 1 + x 2 = 0
x 1 − 2 cos(u)x 2 + x 3 = 0
x 2 − 2 cos(u)x 3 + x 4 = 0
. . .
x n−2 − 2 cos(u)x n−1 + x n = 0
x n−1 − 2 cos(u)x n = 0
Posons x 0 = 0 et x n+1 = 0. La suite (x 0 , . . . , x n+1 ) vérifie
∀k ∈ Ú0, n − 1Û, x k − 2 cos(u)x k+1 + x k+2 = 0,
c’est-à-dire que c’est une suite récurrente linéaire d’ordre 2. Son équation caractéristique admet pour racines e
iu et e
−iu .
Supposons dans un premier temps que ces deux racines soient distinctes, c’est-à-dire
que u ∈ ]0, p[. Il existe donc deux scalaires a et b tels que pour k ∈ Ú0, n + 1Û,
x k = ae
kiu + be
−kiu .
En exprimant ces égalités pour k = 0 et k = n + 1, il vient
a + b = 0
ae
(n+1)iu + be
−(n+1)iu
= 0
Ce système est inversible si e
(n+1)iu
= e
−(n+1)iu , auquel cas a = b = 0 et donc x k = 0.
Autrement dit pour un tel u, l n’est pas valeur propre.
Supposons que e
(n+1)iu = e
−(n+1)iu , ce qui équivaut à 2(n + 1)u ∈ 2pZ. Compte tenu
de la condition u ∈ ]0, p[, il y a donc n valeurs possibles pour u à savoir
u p =
pp
n + 1
où p ∈ Ú1, nÛ.
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