Chapitre 4 – Séries numériques
iii) Pour tout entier n 2,
1
c n
n
1
2
n
. La série géométrique
1
2 n étant convergente,
le théorème de comparaison permet d’établir que
1
c n
n
est convergente.
iv) La série
1
c n
cn
et la série
a n , où
a n =
10
n −1
k=10 n−1
1
n n =
9
10
10
n
n
·
Or pour tout n 11, 0 a n
9
10
10
11
n
· La série géométrique
10
11
n
étant
convergente, d’après le théorème de comparaison, la série
a n et donc la série
1
c n
cn
, est convergente.
➤ Remarque
Puisque
1
ncn
1
cn
et
1
cn
n
1
cn
cn
, il eût suffit de montrer la divergence de la série
1
ncn
et la convergence de la série
1
cn
cn
pour conclure.
10.
1. Pour tout réel positif t et pour tout entier naturel n, la formule exprimant la
somme des n premiers termes d’une suite géométrique nous donne
n
k=0
(−t
a )
k =
1 − (−t
a )
n+1
1 + t a
·
(Remarquer que −t
a
= 1.) Les fonctions considérées étant continues, on peut intégrer sur
[0, x], et donc par linéarité de l’intégrale
x
0
n
k=0
(−t
a )
k dt =
n
k=0
(−1)
k
x
0
t
ak dt =
n
k=0
(−1)
k x
ak+1
ak + 1
·
L’égalité demandée en résulte.
2. D’après la formule précédente, pour tout entier naturel n
n
k=0
(−1)
k x
ak+1
ak + 1
−
x
0
dt
1 + t a
=
−
x
0
(−t
a )
n+1
1 + t a dt
=
x
0
t
a(n+1)
1 + t a dt.
Par ailleurs, pour tout t 0,
1
1 + t a 1 et donc
n
k=0
(−1)
k x
ak+1
ak + 1
−
x
0
dt
1 + t a
x
0
t
a(n+1) dt =
x
a(n+1)+1
a(n + 1) + 1
·
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