© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
SOLUTIONS
Solutions
2. Posons
M B (u) = A =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
a 1 0 · · · 0
0
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . . 0
0 · · · 0 a n
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
, M B (v) = B =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
b 1 0 · · · 0
0
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . . 0
0 · · · 0 b n
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
alors
AB =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
a 1 b 1 0 · · ·
0
0
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
0
0
· · · 0 a n b n
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
et BA =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
b 1 a 1 0 · · ·
0
0
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
0
0
· · · 0 b n a n
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
= AB.
Il en résulte que uv = vu.
12.
• Supposons que uv = vu. Soit x un vecteur propre de u associé à la valeur propre
l, alors
u(v(x)) = (uv)(x) = (vu)(x) = v(lx) = lv(x).
Donc v(x) ∈ E l (u). Mais, u possédant n valeurs propres, dim(E l (u)) = 1, et x étant non
nul, E l (u) = Vect(x). Il existe donc un réel a tel que v(x) = ax. Le vecteur x est donc
également un vecteur propre de v (associé à la valeur propre a).
• Supposons que les vecteurs propres de u soient des vecteurs propres de v. L’endomorphisme
u étant diagonalisable, il existe une base B de E formée de vecteurs propres de u. Comme les
vecteurs propres de u sont des vecteurs propres de v, cette base est aussi formée de vecteurs
propres de v et v est diagonalisable.
13.
1. Il est clair que si deg(Q) 2n, alors deg(s(Q)) 2n.
Soient l ∈ R et Q 1 , Q 2 ∈ E, avec
Q 1 (x) =
2n
k=0
a k x
k
et Q 2 (x) =
2n
k=0
b k x
k ,
on a alors (lQ 1 + Q 2 ) =
2n
k=0
(la k + b k )x
k et donc
s(lQ 1 + Q 2 )(x) =
2n
k=0
(la 2n−k + b 2n−k )x
k
= l
2n
k=0
a 2n−k x
k +
2n
k=0
b 2n−k x
k
= lQ 1 (x) + Q 2 (x),
s est bien un endomorphisme de E.
441