Chapitre 3 – Réduction
2. a. M étant symétrique, elle est diagonalisable.
Pour rechercher les valeurs propres de M, on triangule M − lI 3 (où l ∈ R)
−l
0
1
0 1− l 0
1
0
−l
→
1
0
−l
0 1− l 0
−l
0
1
L 1 ↔ L 3
→ M(l) =
⎛
⎝
1
0
−l
0 1 − l
0
0
1− l
2
⎞
⎠
L 3 ← L 3 + lL 1
Les valeurs propres de M sont les racines de (1 − l)(1 − l
2 ) = (1 − l)(1 − l)(1 + l).
Donc les valeurs propres de M sont dans {−1, 1}.
Recherchons une base des sous-espaces propres de M. Soit X =
x
y
z
, on a
X ∈ E 1 ⇔ M(1)X = 0 ⇔ x − z = 0 ⇔ x = z
d’où E 1 = Vect
1
0
1
,
0
1
0
.
Les deux vecteurs étant non colinéaires,
1
0
1
,
0
1
0
forme une base de E 1 .
De même
X ∈ E −1 ⇔ M(−1)X = 0 ⇔
x + z = 0
2y = 0
⇔
x = −z
y = 0
d’où E −1 = Vect
1
0
−1
. Ce vecteur étant non nul,
1
0
−1
est une base
de E −1 .
b. On a s(1) = X
2 , s(X) = X et s(X
2 ) = 1. Il s’ensuit que M est bien la matrice de s
dans la base (1, X, X
2 ). Compte tenu de la question précédente, une base de vecteurs
propres pour s est (1 + X
2 , X, 1 − X
2 ).
3. a. Soit Q =
2n
k=0
a k X
k , on a
(s ◦ s)(Q) = s(s(Q)) = s
2n
k=0
a 2n−k X
k
=
2n
k=0
a 2n−(2n−k) X
k =
2n
k=0
a k X
k = Q.
Donc s ◦ s = Id E .
b. D’après la question précédente, le polynôme X
2
− 1 est annulateur de s.
Or x
2
− 1 = 0 ⇔ x ∈ {−1, 1}. Il en résulte que les valeurs propres de s sont
nécessairement dans {−1, 1}.
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