Chapitre 3 – Réduction
4. Soit P un tel polynôme annulateur qui peut donc s’écrire sous la forme P =
n
k=1
(X − l k )
où les réels l k sont distincts deux à deux.
Par hypothèse dim(Ker(P(u))) = dim(E). Mais d’après la question 2,
n
k=1
dim(Ker(u − l k Id E )) dim(Ker(P(u))) = dim(E).
En posant E lk (u) = Ker(u − l k Id E ), nous avons
n
k=1
dim(E lk (u)) dim(E).
Certains des sous-espaces E lk (u) peuvent être réduits à {0} mais pas tous puisque la somme
de leur dimension est supérieure à dim(E). La juxtaposition des vecteurs de bases de ces
sous-espaces (éventuellement en ne tenant pas compte de ceux qui sont réduits à {0}) est
une famille qui est libre dans E puisque ce sont des bases de sous-espace propres associés à
des valeurs propres distinctes.
Nous avons donc
n
k=1
dim(E lk (u)) dim(E).
Il s’ensuit que
n
k=1
dim(E lk (u)) = dim(E), la famille F est donc une base de E constituées
de vecteurs propres de u qui est donc diagonalisable.
5. Soit l 1 , l 2 , . . . , l n les valeurs propres de u. Posons P =
n
k=1
(X − l k ).
Nous allons montrer que P(u) = 0 en montrant que P(u) est nul sur chacun des sousespaces propres.
Soit i ∈ Ú1, nÛ, la restriction de u − l i Id E au sous-espace vectoriel E li (u) est nul, par
définition. A fortiori la restriction de P(u) à E li (u) est également nul.
L’endomorphisme P(u) s’annule pour tous les vecteurs propres de u, en particulier sur une
base de vecteurs propres (il en existe puisque u est diagonalisable). P(u) s’annule donc sur
E et P est un polynôme annulateur de u.
11.
1. a. Soit l une valeur propre de u et x ∈ E l (u). On a v(u(x)) = v(lx) = lv(x).
Comme uv = vu, il vient u(v(x)) = lv(x) ce qui signifie que v(x) ∈ E l (u). L’endomorphisme v laisse stable E l .
b. Comme v est diagonalisable, il existe un polynôme annulateur de v à racines simples
(voir l’exercice précédent). Ce polynôme est aussi annulateur de l’endomorphisme
induit par v sur chacun des sous-espaces propres de u. Soit l une valeur propre de u.
L’endomorphisme v |El(u) est diagonalisable puisqu’il admet un polynôme annulateur à
racines simples. Il existe donc une base B l de E l (u) dans laquelle la matrice de v |El(u)
est diagonale. En notant B la base de E obtenue en juxtaposant les bases B l ; en effet,
c’est bien une base de E car d’une part c’est une famille libre de E et d’autre part la
somme des dimensions des espaces E l (u) est égale à la dimension de E, le nombre de
vecteurs de B est donc égal à la dimension de E.
Les matrices de u et de v dans cette base, sont diagonales.
440
4. Soit P un tel polynôme annulateur qui peut donc s’écrire sous la forme P =
n
k=1
(X − l k )
où les réels l k sont distincts deux à deux.
Par hypothèse dim(Ker(P(u))) = dim(E). Mais d’après la question 2,
n
k=1
dim(Ker(u − l k Id E )) dim(Ker(P(u))) = dim(E).
En posant E lk (u) = Ker(u − l k Id E ), nous avons
n
k=1
dim(E lk (u)) dim(E).
Certains des sous-espaces E lk (u) peuvent être réduits à {0} mais pas tous puisque la somme
de leur dimension est supérieure à dim(E). La juxtaposition des vecteurs de bases de ces
sous-espaces (éventuellement en ne tenant pas compte de ceux qui sont réduits à {0}) est
une famille qui est libre dans E puisque ce sont des bases de sous-espace propres associés à
des valeurs propres distinctes.
Nous avons donc
n
k=1
dim(E lk (u)) dim(E).
Il s’ensuit que
n
k=1
dim(E lk (u)) = dim(E), la famille F est donc une base de E constituées
de vecteurs propres de u qui est donc diagonalisable.
5. Soit l 1 , l 2 , . . . , l n les valeurs propres de u. Posons P =
n
k=1
(X − l k ).
Nous allons montrer que P(u) = 0 en montrant que P(u) est nul sur chacun des sousespaces propres.
Soit i ∈ Ú1, nÛ, la restriction de u − l i Id E au sous-espace vectoriel E li (u) est nul, par
définition. A fortiori la restriction de P(u) à E li (u) est également nul.
L’endomorphisme P(u) s’annule pour tous les vecteurs propres de u, en particulier sur une
base de vecteurs propres (il en existe puisque u est diagonalisable). P(u) s’annule donc sur
E et P est un polynôme annulateur de u.
11.
1. a. Soit l une valeur propre de u et x ∈ E l (u). On a v(u(x)) = v(lx) = lv(x).
Comme uv = vu, il vient u(v(x)) = lv(x) ce qui signifie que v(x) ∈ E l (u). L’endomorphisme v laisse stable E l .
b. Comme v est diagonalisable, il existe un polynôme annulateur de v à racines simples
(voir l’exercice précédent). Ce polynôme est aussi annulateur de l’endomorphisme
induit par v sur chacun des sous-espaces propres de u. Soit l une valeur propre de u.
L’endomorphisme v |El(u) est diagonalisable puisqu’il admet un polynôme annulateur à
racines simples. Il existe donc une base B l de E l (u) dans laquelle la matrice de v |El(u)
est diagonale. En notant B la base de E obtenue en juxtaposant les bases B l ; en effet,
c’est bien une base de E car d’une part c’est une famille libre de E et d’autre part la
somme des dimensions des espaces E l (u) est égale à la dimension de E, le nombre de
vecteurs de B est donc égal à la dimension de E.
Les matrices de u et de v dans cette base, sont diagonales.
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