Chapitre 3 – Réduction
Ainsi E 0 = {0}, donc 0 est bien valeur propre et E 0 = Vect((−a, b, 0), (−a, 0, c)).
De même une équation de E 3 est
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
−2x +
a
b
y +
a
c
z = 0
b
a
x − 2y +
b
c
z = 0
c
a
x +
c
b
y − 2z = 0
⇔
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
−2x +
a
b
y +
a
c
z = 0
−3y + 3
b
c
z = 0
3
c
b
y − 3z = 0
L 2 ← 2L 2 +
b
a
L 1
L 3 ← 2L 3 +
c
a
L 1
⇔
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
2x =
a
b
y +
a
c
z
y =
b
c
z
⇔
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
x =
a
c
z
y =
b
c
z
On en conclut que E 3 = {0}, c’est-à-dire que 3 est bien valeur propre et que
E 3 = Vect((a, b, c)).
b. On a donc trouvé trois vecteurs propres de M (−a, b, 0), (−a, 0, c), (a, b, c) qui forment
une famille libre de R
3 . Cette famille est donc une base de R
3 formée de vecteurs
propres de M. M est diagonalisable.
3. a. On trouve PQ = 3I, soit encore P ×
1
3
Q = I, donc P est inversible et P
−1 =
1
3
Q.
b. On voit que P est formé de trois vecteurs propres de M associés dans l’ordre aux valeurs
propres 3, 0, 0. On sait dans ce cas que
P
−1 MP =
3 0 0
0 0 0
0 0 0
Soit encore M = PDP
−1 .
4. Soit Y =
a b c
d e f
g h i
∈ M 3 (R),
DY − YD = 3Y ⇔
3a 3b 3c
0 0 0
0 0 0
−
3a 0 0
3d 0 0
3g 0 0
= 3
a b c
d e f
g h i
⇔
0 = 3a
3b = 3b 3c = 3c
−3d = 3d 0 = 3e 0 = 3f
−3g = 3g 0 = 3h 0 = 3i
⇔
a = d = e = f = g = h = i = 0
b, c ∈ R
Les matrices Y telles que DY − YD = 3Y sont celles de la forme
0 b c
0 0 0
0 0 0
où
b, c ∈ R.
5. X vérifie l’équation MX − XM = 3X si, et seulement si, PDP
−1 X − XPDP
−1 = 3X,
ce qui équivaut en multipliant par P
−1 à gauche et P à droite à l’équation
DP
−1 XP − P
−1 XPD = 3P
−1 XP. X est donc solution si, et seulement si, P
−1 XP est
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