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SOLUTIONS
Solutions
c. On a
A
− lI =
−l 0
1
0 −l 0
0
0 −l
Donc A
− lI n’est pas inversible si et seulement si l = 0. C’est-à-dire que 0 est la
seule valeur propre de A
. Comme A et A
sont semblables, 0 est la seule valeur propre
de A. 0 valeur propre de A équivaut à la non-inversibilité de A − 0I = A, donc A n’est
pas inversible. Si A était diagonalisable elle serait semblable à une matrice diagonale
avec les valeurs propres sur la diagonale, en l’occurrence la matrice nulle. Or seule la
matrice nulle est semblable à la matrice nulle et A = 0. Donc A n’est pas diagonalisable.
4. a. 0 étant la seule valeur propre de A, pour tout x = 0, la matrice A − xI = B(x) est
inversible.
b. On a
(A − xI)(A + xI) = A
2
− x
2 I − xIA + xAI = −x
2 I,
soit encore
−1
x 2 (A − xI)(A + xI) = I,
donc
B(x)
−1 =
−1
x 2 (A + xI)
c. D’après la formule du binôme, on a
B(x)
n
=
n
k=0
n
k
(−1)
n−k x
n−k
A
k
=0
pour k2
= (−1)
n (x
n I − x
n−1 A)
8.
1. a. On a M
2 =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
3
3
a
b
3
a
c
3
b
a
3
3
b
c
3
c
a
3
c
b
3
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
= 3M.
b. Soit l une valeur propre de M et X un vecteur propre associé. On a d’une part
M
2 X = MlX = l
2 X et d’autre part M
2 X = 3MX = 3lX. On en déduit que
l
2 X = 3lX, comme X = 0, il vient l
2 = 3l, soit encore (l − 3)l = 0. C’est-à-dire
l ∈ {0, 3}.
2. a. Les seules valeurs propres possibles sont 0 et 3. Une équation de E 0 est
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
x +
a
b
y +
a
c
z = 0
b
a
x + y +
b
c
z = 0
c
a
x +
c
b
y + z = 0
⇔ x = −
a
b
y −
a
c
z
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