Chapitre 3 – Réduction
2. En posant P =
1
1
−2 −1
, on a
P
−1 AP =
3 0
0 5
D’où
A
n = P
3
n
0
0 5
n
P
−1
Il reste à inverser P en résolvant le système associé
x + y = a
−2x − y = b
⇔
x = −a − b
y = 2a + b
D’où P
−1 =
−1 −1
2
1
.
On en déduit que
A
n =
1
1
−2 −1
3
n
0
0 5
n
−1 −1
2
1
=
3
n
5
n
−2 × 3
n
−5
n
−1 −1
2
1
=
−3
n + 2 × 5
n
−3
n + 5
n
2 × 3
n
− 2 × 5
n
2 × 2
n
− 5
n
3. On voit que, pour tout entier naturel n, on a X n+1 = AX n .
4. Par récurrence sur n, on prouve que pour tout n ∈ N, X n = A
n X 0 .
5. On en déduit que pour n ∈ N, on a
u n
v n
=
−3
n + 2 × 5
n
−3
n + 5
n
2 × 3
n
− 2 × 5
n 2 × 3
n
− 5
n
1
1
=
−2 × 3
n + 3 × 5
n
4 × 3
n
− 3 × 5
n
6.
1. a. Nous avons P(X) = X
3
− 2X
2
− 5X + 6. Nous observons que 1 est une
racine évidente de ce polynôme puis à l’aide du discriminant D = 25 nous obtenons
successivement
P(X) = (X − 1)(X
2
− X − 6) = (X − 1)(X − 3)(X + 2).
Les solutions de P(x) = 0 sont −2, 1 et 3.
b. Nous pouvons noter P(A) = A
3
− 2A
2
− 5A + 6I 3 .
Avec
I 3 =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
,
A =
7
3 −9
−2 −1
2
2 −1 −4
,
A
2 =
25 27 −21
−8 −7
8
8 11 −4
,
A
3 =
79
69 −87
−26 −25
26
26
17 −34
,
432