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SOLUTIONS
Solutions
d’où rg(A − (a − 1)I) = 1. D’après la formule du rang, dim(E a−1 (A)) = n − 1 (en particulier
a − 1 est une valeur propre de A). De plus, pour X =
⎛
⎜
⎝
x 1
. . .
x n
⎞
⎟
⎠,
X ∈ E a−1 (A) ⇔ x 1 + x 2 + · · · + x n = 0 ⇔ x 1 = −x 2 + · · · − x n ,
d’où
E 1 (A) = Vect
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
−1
1
0
. . .
. . .
0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
,
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
−1
0
1
. . .
. . .
0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
, . . . ,
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
−1
0
. . .
0
1
0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
,
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
−1
0
. . .
. . .
0
1
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
Comme dim(E a−1 ) = n − 1, il ne reste plus qu’éventuellement une seule autre valeur propre.
Mais un peu d’intuition nous fait constater que
A ×
⎛
⎜
⎝
1
. . .
1
⎞
⎟
⎠ =
⎛
⎜
⎝
a + (n − 1)
. . .
a + (n − 1)
⎞
⎟
⎠ = (a + n − 1)
⎛
⎜
⎝
1
. . .
1
⎞
⎟
⎠ ,
donc a + n − 1 est la seconde valeur propre de A et E a+n−1 (A) = Vect
⎛
⎜
⎝
⎛
⎜
⎝
1
. . .
1
⎞
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠.
5.
1. Le réel l est valeur propre de A si et seulement si (7 − l)(1 − l) + 8 = 0 soit
l
2
− 8l + 15 = 0. On résout
D
= 16 − 15 = 1, l 1 = 4 − 1 = 3, l 2 = 4 + 1 = 5
A a pour valeurs propres 3 et 5.
Une équation de E 3 est
4x + 2y = 0
−4x − 2y = 0
⇔ y = −2x
D’où E 3 = Vect((1, −2)).
De même une équation de E 5 est
2x + 2y = 0
−4x − 4y = 0
⇔ y = −x
D’où E 5 = Vect((1, −1)).
Une base de vecteurs propres est donc ((1, −2), (1, −1))
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