Chapitre 3 – Réduction
d’où
E 0 = Vect
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
−1
0
. . .
. . .
. . .
0
1
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
,
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
0
−1
1
0
. . .
. . .
0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
, . . . ,
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
0
−1
0
. . .
0
1
0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
.
Pour les autres valeurs propres déterminons les réels l non nuls tels que le système
(A − lI)X = 0 admette une solution non nulle. Résolvons ce système
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
x 1 + x 2 + · · · + x n = lx 1
x 1 + x n = lx 2
x 1 + x n = lx 3
. . .
x 1 + x n = lx n−1
x 1 + x 2 + · · · + x n = lx n
Comme l = 0 ce système équivaut à
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
x 2 = x 3 = x 4 = · · · = x n−1 =
1
l
(x 1 + x n )
x 1 = x n =
1
l
n
k=1
x k
⇔
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
x 2 = x 3 = x 4 = · · · = x n−1 =
2
l
x 1
x n = x 1
x 1 =
1
l
(2x 1 + (n − 2)
2
l
x 1 )
⇔
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
x 2 = x 3 = x 4 = · · · = x n−1 =
2
l
x 1
x n = x 1
l
2
− 2l − 2(n − 2)
x 1 = 0
Ce système admet une solution non nulle si, et seulement si, l
2
− 2l − 2(n − 2) = 0. Nous
avons D
= 1 + 2(n − 2) = 2n − 3.
La matrice A possède donc deux autres valeurs propres 1 ±
√
2n − 3. D’après la résolution du
système on a, pour l = 1 ±
√
2n − 3.
E l = Vect
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
l
1
. . .
1
l
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
.
4.
On remarque que
A − (a − 1)I =
⎛
⎜
⎝
1 . . . 1
. . .
. . .
1 . . . 1
⎞
⎟
⎠
430