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SOLUTIONS
Solutions
nous obtenons
P(A) =
79 − 50 − 35 + 6
69 − 54 − 15
−87 + 42 + 45
−26 + 16 + 10 −25 + 14 + 5 + 6
26 − 16 − 10
26 − 16 − 10
17 − 22 + 5 −34 + 8 + 20 + 6
= 0.
c. Si V est un vecteur propre de A associé à une valeur propre l, nous avons successivement I 3 V = 1V , AV = lV , A
2 V = l
2 V et A
3 V = l
3 V . Le calcul de P(A)V nous
donne alors
P(A)V = A
3 V − 2A
2 V − 5AV + 6I 3 V = l
3 V − 2l
2 V − 5lV + 6V = P(l)V .
Comme le vecteur V est non nul, nous en déduisons que les valeurs propres de A sont
solutions de P(x) = 0, elles sont donc dans {−2, 1, 3}.
2. Pour chaque l ∈ {−2, 1, 3}, déterminons s’il existe des vecteurs X solutions de AX = lX.
1
er cas l = −2
7x + 3y − 9z = −2x
−2x − y + 2z = −2y
2x − y − 4z = −2z
⇐⇒
3x + y − 3z = 0
−2x + y + 2z = 0
2x − y − 2z = 0
⇐⇒
x = z
y = 0
l = −2 est une valeur propre et un vecteur propre associé est X −2 = (1, 0, 1).
2
e cas l = 1
7x + 3y − 9z = x
−2x − y + 2z = y
2x − y − 4z = z
⇐⇒
2x + y − 3z = 0
−x − y + z = 0
2x − y − 5z = 0
⇐⇒
2x + y − 3z = 0
x − 2z = 0
4x − 8z = 0
Ce qui nous donne
y = −z
x = 2z
l = 1 est une valeur propre et un vecteur propre associé est X 1 = (2, −1, 1).
3
e cas l = 3
7x + 3y − 9z = 3x
−2x − y + 2z = 3y
2x − y − 4z = 3z
⇐⇒
4x + 3y − 9z = 0
−x − 2y + z = 0
2x − y − 7z = 0
⇐⇒
−x − 2y + z = 0
−5y − 5z = 0
−5y − 5z = 0
Ce qui nous donne
y = −z
x = 3z
l = 1 est une valeur propre et un vecteur propre associé est X 3 = (3, −1, 1).
3. Nous sommes en dimension 3, la matrice A a trois valeurs propres distinctes, elle est donc
diagonalisable.
On a donc
P =
1
2
3
0 −1 −1
1
1
1
433