© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
SOLUTIONS
Solutions
De même une équation de E a+1 est
−x + y = 0
x − y = 0
Soit x = y, d’où E a+1 = Vect(1, 1).
Une base de vecteurs propres est donc ((−1, 1), (1, 1)). En posant P =
−1 1
1 1
,
on a
P
−1 AP =
a − 1
0
0
a + 1
b. On a donc A
n = PB
n P
−1 . Or on sait que B
n =
(a − 1)
n
0
0
(a + 1)
n
. Il reste à
calculer P
−1 . Pour cela on résout le système associé
−x + y = a
x + y = b
⇔
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
x =
−a + b
2
y =
a + b
2
D’où
P
−1 =
⎛
⎜
⎝
−
1
2
1
2
1
2
1
2
⎞
⎟
⎠
On trouve finalement
A
n =
−1 1
1 1
(a − 1)
n
0
0
(a + 1)
n
⎛
⎜
⎝
−
1
2
1
2
1
2
1
2
⎞
⎟
⎠
=
1
2
−(a − 1)
n
(a + 1)
n
(a − 1)
n
(a + 1)
n
−1 1
1 1
=
1
2
(a + 1)
n + (a − 1)
n
(a + 1)
n
− (a − 1)
n
(a + 1)
n
− (a − 1)
n
(a + 1)
n + (a − 1)
n
2.
1. Soit A la matrice à étudier, on triangule A − lI.
1 − l
0
1
0
1− l
0
1
1
3− l
→
1
1
3− l
0
1− l
0
1 − l
0
1
L 1 ↔ L 3
→
⎛
⎝
1
1
3− l
0 1 − l
0
0 l − 1 −l
2 + 4l − 2
⎞
⎠
L 3 ← L 3 + (l − 1)L 1
→ A(l) =
⎛
⎝
1
1
3− l
0 1 − l
0
0
0
−l
2 + 4l − 2
⎞
⎠
L 3 ← L 3 + L 2
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