Chapitre 3 – Réduction
l est valeur propre si et seulement si (1 − l)(l
2
− 4l + 2) = 0. 1 est valeur propre ainsi
que les racines de l
2
− 4l + 2 soit
D
= 4 − 2 = 2, l 1 = 2 −
√
2, l 2 = 2 +
√
2
La matrice A possède les trois valeurs propres 1, 2−
√
2, 2+
√
2, nous sommes en dimension
3, elle est diagonalisable.
Une équation de E 1 est A(1)X = 0 soit
x + y + 2z = 0
−z = 0
⇔
x = −y
z = 0
D’où E 1 = Vect(−1, 1, 0).
Une équation de E 2−
√
2 est A(2 −
√
2)X = 0 soit
x + y + (1 +
√
2)z = 0
(
√
2 − 1)y = 0
⇔
x = −(1 +
√
2)z
y = 0
D’où E 2−
√
2 = Vect(−1 −
√
2, 0, 1).
Une équation de E 2+
√
2 est A(2 +
√
2)X = 0 soit
x + y + (1 −
√
2)z = 0
(−1 −
√
2)y = 0
⇔
x = (
√
2 − 1)z
y = 0
D’où E 2+
√
2 = Vect(
√
2 − 1, 0, 1).
2. Soit A la matrice à étudier, on triangule A − lI.
−1 − l
2
−2
−6
7− l
−5
−6
6
−4 − l
→
−6
6
−4 − l
−6
7− l
−5
−1 − l
2
−2
L 1 ↔ L 3
−6
6
−4 − l
0 1− l
l− 1
0 6 − 6l −12 + (l + 1)(4 + l)
L 2 ← L 2 − L 1
L 3 ← 6L 3 − (l + 1)L 1
→ A(l) =
⎛
⎝
−6
6
−4 − l
0 1 − l
l− 1
0
0
l
2
− l − 2
⎞
⎠
L 3 ← L 3 − 6L 2
Les valeurs propres sont donc les solutions de l’équation (1 − l)(l
2
− l − 2) = 0 soit
1, −1, 2. La matrice A possède trois valeurs propres, nous sommes en dimension 3, elle est
diagonalisable.
Une équation de E −1 est A(−1)X = 0 soit
−6x + 6y − 3z = 0
2y − 2z = 0
⇔
⎧
⎨
⎩
x =
1
2
z
y = z
D’où E −1 = Vect(1, 2, 2).
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