Chapitre 3 – Réduction
En posant P =
−1 4
1 1
, on a
P
−1 AP =
−2 0
0 3
2. Le réel l est valeur propre si, et seulement si, B − lI 2 =
1 − l
1
0 1 − l
n’est pas
inversible, c’est-à-dire si l = 1.
Une équation de E 1 est
y = 0
0 = 0
D’où
E 1 = Vect
(1, 0)
Le sous espace propre E 1 est de dimension un, il n’y a pas d’autre sous-espace propre et
nous sommes en dimension deux. B n’est donc pas diagonalisable.
3. Le réel l est valeur propre si, et seulement si, C − lI 2 =
1 − l
1
−4 1 − l
n’est pas
inversible, c’est-à-dire, après triangulation, si
−4
1− l
0 4 + (1 − l)
2
n’est pas inversible.
Dans R, cette dernière matrice est inversible quelque soit l, la matrice C n’est pas diagonalisable.
Dans C, la matrice C n’est pas inversible pour l = 1 + 2i et pour l = 1 − 2i, elle a donc
deux valeurs propres, nous sommes en dimension 2, C est diagonalisable.
Une équation de E 1+2i est −4x − 2iy = 0
0 = 0
⇐⇒ y = 2ix
D’où
E 1+2i = Vect
(1, 2i)
De même, nous obtenons E 1−2i = Vect
(1, −2i)
4. La matrice A est une matrice réelle symétrique, nous savons donc qu’elle est diagonalisable
quelque soit a.
a. l est valeur propre de A si et seulement si A − lI 2 n’est pas inversible.
Nous triangulons par la méthode du pivot de Gauss A − lI 2 .
a − l
1
1 a − l
1 a − l
a − l
1
L 1 ↔ L 2
1
−1 − l
0 (a − l)
2
− 1
L 2 ← (a − l)L 1 − L 2
A − l n’est pas inversible si et seulement si l vérifie l’équation (a − l)
2
− 1 = 0. Soit
(a − l − 1)(a − l + 1) = 0. Les valeurs propres sont a + 1 et a − 1. Ces valeurs étant
distinctes, A est diagonalisable.
Une équation de E a−1 est
x + y = 0
x + y = 0
Soit x = −y, d’où E a−1 = Vect(−1, 1).
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