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SOLUTIONS
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Chapitre 2
1.
1. Nous savons que le rang d’une matrice est la dimension de l’espace engendré par
ses vecteurs colonnes ou par ses vecteurs lignes puisque rg(
t M) = rg(M). Nous allons donc
étudier l’espace engendré par les vecteurs colonnes de M après avoir soustrait la première
des deux dernières. Nous avons
rg(M) = rg
1
0
0
b + c (a − b) (a − c)
bc
c(a − b) b(a − c)
.
1
er cas : c = a = b. Dans ce cas il n’y a qu’un vecteur non nul, le rang de M est 1.
2
e cas : c = a = b. Dans ce cas il y a un vecteur nul et deux vecteurs non nuls non
colinéaires, le rang de M est 2. Il en sera de même si b = a = c. Si c = b = a, nous pouvons
faire un calcul similaire en soustrayant la dernière colonne de M des deux premières et le
rang de M est encore 2.
3
e cas : a, b, c distincts. Nous avons alors, en divisant les deux dernières colonnes par
(a − b) et (a − c) respectivement puis en soustrayant la deuxième colonne de la dernière
rg(M) = rg
1
0 0
b + c 1 1
bc
c b
= rg
1
0
0
b + c 1
0
bc
c b − c
.
Le rang de M est alors 3.
2. Posons J =
⎛
⎜
⎝
1 · · · 1
. . .
. . .
. . .
1 · · · 1
⎞
⎟
⎠ ∈ M n (K). Nous avons J
2 = nJ et M = (a − b)I + bJ, et
enfin, parce que I et J commutent,
M
2 = (a − b)
2 I + 2(a − b)bJ + b
2 J
2 = (a − b)
2 I +
2a + (n − 2)b
(bJ).
Nous obtenons M
2 = (a − b)
2 I +
2a + (n − 2)b
M − (a − b)I
en remplaçant bJ par
M − (a − b)I, puis
M
2
−
2a + (n − 2)b
M = (a − b)
2 I − (a − b)
2a + (n − 2)b
I
M
M − (2a − 2b + nb)I
= −(a − b)
a + (n − 1)b
I.
1
er cas : a = b ou a = (1 − n)b. La matrice M est non inversible ; en effet si M était
inversible, le produit à gauche de la dernière égalité par M
−1 donnerait une contradiction ou a = b = 0 ce qui contredit l’inversibilité de M.
2
e cas : a = b et a = (1 − n)b. la matrice M est inversible et l’on a
M
−1 =
1
(b − a)
a + (n − 1)b
M − (2a − 2b + nb)I
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