Chapitre 1 – Espaces vectoriels
10.
Nous allons démontrer que la famille de n + 1 vecteurs
(X − 1)
k (X + 1)
n−k
0kn
est une base de K n [X] par récurrence sur n.
Initialisation. La famille (1) est une famille libre de un vecteur dans l’espace vectoriel K 0 [X]
des polynômes constants qui est de dimension 1, c’est donc une base de cet espace.
Hérédité. Supposons que la famille de n vecteurs
(X − 1)
k (X + 1)
n−k−1
0kn−1
soit une
base de K n−1 [X] pour une entier n non nul.
Considérons dans l’espace vectoriel K n [X] une combinaison linéaire nulle Q des vecteurs de
la famille de n + 1 vecteurs
(X − 1)
k (X + 1)
n−k
0kn
:
Q =
n
k=0
a k (X − 1)
k (X + 1)
n−k = 0.
En 1, l’égalité ci-dessus nous donne Q(1) = a 0 = 0.
Par ailleurs, le polynôme Q nul a une dérivée qui est aussi le polynôme nul.
Q
=
n
k=0
a k k(X − 1)
k−1 (X + 1)
n−k +
n
k=0
a k (n − k)(X − 1)
k (X + 1)
n−k−1
=
n−1
k=0
a k+1 (k + 1)(X − 1)
k (X + 1)
n−k−1 +
n−1
k=0
a k (n − k)(X − 1)
k (X + 1)
n−k−1
=
n−1
k=0
(n − k)a k + (k + 1)a k+1
(X − 1)
k (X + 1)
n−k−1 = 0.
Comme la famille
(X − 1)
k (X + 1)
n−k−1
0kn−1
est libre, tous les coefficients de la dernière
ligne ci-dessus sont nuls. Les coefficients a k sont donc solutions du système étagé suivant.
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
a 0
= 0
na 0
+a 1
= 0
(n − 1)a 1 +2a 2
= 0
. . .
. . .
. . .
(n − k)a k +(k + 1)a k+1
= 0
. . .
. . .
. . .
a n−1 +na n = 0
Nous avons donc a 0 = a 1 = · · · = a k = · · · = a n = 0. La famille de n + 1 vecteurs
(X − 1)
k (X + 1)
n−k
0kn
est une famille libre dans l’espace K n [X] de dimension n + 1, il
s’agit donc d’une base.
Conclusion. Nous avons donc, par le principe de récurrence, démontré que
∀n ∈ N la famille
(X − 1)
k (X + 1)
n−k
0kn
est une base de K n [X].
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