Chapitre 2 – Applications linéaires
3. a. Pour la suite géométrique (r
n ) n∈N , nous avons 1 + r + r
2 + · · · + r
k−1 =
1 − r
k
1 − r
avec
r = 1. Ceci nous donne l’identité (1 − r)(1 + r + r
2 + · · · + r
k−1 ) = 1 − r
k , vraie pour
tout réel r.
b. Par analogie avec la question précédente nous faisons les calculs suivant
(I − A)(I + A + A
2 + · · · + A
k−1 ) = I − A
k
= I,
(I + A)(I − A + A
2 + · · · + (−1)
k−1 A
k−1 ) = I − (−1)
k A
k = I.
Ceci démontre l’inversibilité de I − A et de I + A et donne leur inverse respectif.
2.
1. Soient M, N deux matrices de M 2 (K) et l, m deux scalaires. On a
f (lM + mN) = (lM + mN)A − A(lM + mN)
= l(MA − AM) + m(NA − AN)
= lf (M) + mf (N)
f est une application linéaire, donc un endomorphisme de R
N .
2. Nous considérons la base canonique B = (E 1,1 , E 2,1 , E 1,2 , E 2,2 ).
Nous avons par exemple
w(E 1,1 ) =
1 0
0 0
1 3
0 1
−
1 3
0 1
1 0
0 0
=
0 2
0 0
= 2E 1,2 .
De même
w(E 2,1 ) =
−2 0
0 2
= −2E 1,1 + 2E 2,2 ,
w(E 1,2 ) =
0 0
0 0
= 0,
w(E 2,2 ) =
0 −2
0
0
= −2E 1,2 .
Nous en déduisons M B (w) =
⎛
⎜
⎝
0 −2 0
0
0
0 0
0
2
0 0 −2
0
2 0
0
⎞
⎟
⎠
3. L’application w est un endomorphisme de M 2 (K) qui est un espace de dimension 4. Nous
observons que m(w) = Vect(E 1,2 , −E 1,1 + E 2,2 ) est de dimension 2. Le noyau de w est
donc de dimension 2 (théorème du rang).
Nous en déduisons Ker(w) = Vect(E 1,2 , E 1,1 + E 2,2 ).
L’endomorphisme w est ni injectif ni surjectif.
4. L’image de w
2
est engendré par
w(E 1,2 ), w(−E 1,1 + E 2,2 )
. Nous avons
m(w
2 ) = Vect(E 1,2 ) qui est donc de dimension 1.
Nous en déduisons w
3 = 0.
Les mêmes conclusions pouvaient être obtenues en remarquant que
M
2
B (w) =
⎛
⎜
⎝
0
0 0 0
0
0 0 0
0 −8 0 0
0
0 0 0
⎞
⎟
⎠ ,
M
3
B (w) =
⎛
⎜
⎝
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
⎞
⎟
⎠ .
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