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SOLUTIONS
Solutions
L’ensemble A est non vide et stable par combinaison linéaire, c’est donc un sous-espace
vectoriel de M n (K).
• Soit A = (a i,j ) 1in
1jn
une matrice de S ∩ A. Nous avons alors, pour tout (i, j) ∈ Ú1, nÛ
2 ,
a i,j = a j,i = −a j,i ce qui impose a i,j = 0.
Nous avons donc S ∩ A = {0}.
• Soit M une matrice de M n (K). Posons
S =
1
2
M +
t M
et
A =
1
2
M −
t M
.
Nous avons clairement S ∈ S, A ∈ A et M = S + A.
Nous pouvons donc conclure que M n (K) = S ⊕ A.
3. • L’ensemble F est non vide, il contient la fonction nulle. Soit f et g deux fonctions
éléments de C
1 (R, R), l et m deux réels. Nous avons alors
(lf + mg)(0) = lf (0) + mg(0) = 0 et (lf + mg)
(0) = lf
(0) + mg
(0) = 0.
L’ensemble F est non vide et stable par combinaison linéaire, c’est donc un sous-espace
vectoriel de C
1 (R, R).
• L’ensemble G est en fait égal à l’espace vectoriel R 1 [X], c’est donc un sous espace de
C
1 (R, R).
• La seule fonction de F ∩ G est clairement la fonction nulle. Nous avons donc
F ∩ G = {0}.
• Soit f une fonction de C
1 (R, R). Définissons les fonctions g et h par
g : x → f (x) −
xf
(0) + f (0)
et
h : x →
xf
(0) + f (0)
.
Nous avons clairement g ∈ F, h ∈ G et f = g + h.
Nous pouvons donc conclure que E = F ⊕ G.
4. • Les ensembles F et G ne sont pas vides, ils contiennent tous les deux la suite constante
nulle.
Nous savons que si u et v sont deux suites réelles convergentes, alors toute combinaison
linéaire de u et v est une suite convergente et que la limite de la combinaison linéaire est
la combinaison linéaire des limites ; ceci confirme que E est bien un espace vectoriel et
que F en est un sous-espace. De même, il est clair que l’ensemble des suites constantes
est stable par combinaison linéaire, c’est un sous-espace de E.
• La seule suite constante convergeant vers 0 est la suite constante nulle. Nous avons donc
F ∩ G = {0}.
• Soit u une suite convergeant vers le réel . Soit w la suite constante égale à et v la suite
définie par v = u − w. Nous avons clairement v ∈ F, w ∈ G et u = v + w.
Nous pouvons donc conclure que E = F ⊕ G.
7.
1. Soit i 0 ∈ Ú0, nÛ un entier fixé. Le polynôme P i0 admet n racines distinctes et est
de degré inférieur ou égal à n ; il est nécessairement de la forme
P i0 (X) = k i0
n
i=0
i =i 0
(X − x i )
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Solutions
L’ensemble A est non vide et stable par combinaison linéaire, c’est donc un sous-espace
vectoriel de M n (K).
• Soit A = (a i,j ) 1in
1jn
une matrice de S ∩ A. Nous avons alors, pour tout (i, j) ∈ Ú1, nÛ
2 ,
a i,j = a j,i = −a j,i ce qui impose a i,j = 0.
Nous avons donc S ∩ A = {0}.
• Soit M une matrice de M n (K). Posons
S =
1
2
M +
t M
et
A =
1
2
M −
t M
.
Nous avons clairement S ∈ S, A ∈ A et M = S + A.
Nous pouvons donc conclure que M n (K) = S ⊕ A.
3. • L’ensemble F est non vide, il contient la fonction nulle. Soit f et g deux fonctions
éléments de C
1 (R, R), l et m deux réels. Nous avons alors
(lf + mg)(0) = lf (0) + mg(0) = 0 et (lf + mg)
(0) = lf
(0) + mg
(0) = 0.
L’ensemble F est non vide et stable par combinaison linéaire, c’est donc un sous-espace
vectoriel de C
1 (R, R).
• L’ensemble G est en fait égal à l’espace vectoriel R 1 [X], c’est donc un sous espace de
C
1 (R, R).
• La seule fonction de F ∩ G est clairement la fonction nulle. Nous avons donc
F ∩ G = {0}.
• Soit f une fonction de C
1 (R, R). Définissons les fonctions g et h par
g : x → f (x) −
xf
(0) + f (0)
et
h : x →
xf
(0) + f (0)
.
Nous avons clairement g ∈ F, h ∈ G et f = g + h.
Nous pouvons donc conclure que E = F ⊕ G.
4. • Les ensembles F et G ne sont pas vides, ils contiennent tous les deux la suite constante
nulle.
Nous savons que si u et v sont deux suites réelles convergentes, alors toute combinaison
linéaire de u et v est une suite convergente et que la limite de la combinaison linéaire est
la combinaison linéaire des limites ; ceci confirme que E est bien un espace vectoriel et
que F en est un sous-espace. De même, il est clair que l’ensemble des suites constantes
est stable par combinaison linéaire, c’est un sous-espace de E.
• La seule suite constante convergeant vers 0 est la suite constante nulle. Nous avons donc
F ∩ G = {0}.
• Soit u une suite convergeant vers le réel . Soit w la suite constante égale à et v la suite
définie par v = u − w. Nous avons clairement v ∈ F, w ∈ G et u = v + w.
Nous pouvons donc conclure que E = F ⊕ G.
7.
1. Soit i 0 ∈ Ú0, nÛ un entier fixé. Le polynôme P i0 admet n racines distinctes et est
de degré inférieur ou égal à n ; il est nécessairement de la forme
P i0 (X) = k i0
n
i=0
i =i 0
(X − x i )
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