Chapitre 1 – Espaces vectoriels
6.
1. Les ensembles F et G contiennent tous les deux le polynôme nul, ils ne sont
pas vides. Il est immédiat de voir que chacun de ces ensembles est stable par combinaison
linéaire.
Les ensembles F et G sont donc des sous-espaces vectoriels de E = K 3 [X].
• Soit un polynôme P ∈ F ∪ G, P est de degré inférieur ou égal à 3 et il admet 4 racines
1, 2, 3 et 4 ; P est donc le polynôme nul.
Nous avons donc F ∩ G = {0}.
• Soit un polynôme P ∈ F. Puisque P a pour racine 1 et 2, P se factorise par (X−1)(X−2),
il existe donc des réels a et b tels que P = (aX + b)(X − 1)(X − 2) ; et nous avons donc
P = aR 1 + bR 2 en posant R 1 = X(X − 1)(X − 2) et R 2 = (X − 1)(X − 2).
De même nous montrons que pour tout polynôme Q ∈ G il existe donc des réels c et
d tels que Q = (cX + d)(X − 3)(X − 4) ; et nous avons donc Q = cR 3 + dR 4 en posant
R 3 = X(X − 3)(X − 4) et R 4 = (X − 3)(X − 4).
• Montrons que la famille (R 1 , R 2 , R 3 , R 4 ) est une famille libre de K
3 [X]. Soit quatre
réels a, b, g, d tels que pour tout x réel aR 1 (x) + bR 2 (x) + gR 3 (x) + dR 4 (x) = 0. En
prenant successivement x = 0, 1, 3, 5 nous obtenons le système suivant
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
2b
+12d = 0
6g + 6d = 0
6a + 2b
= 0
60a + 12b +10g + 2d = 0
⇐⇒
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
2b
+12d = 0
6g + 6d = 0
6a + 2b
= 0
−40g = 0 L 4 − 10L 3 + 4L 1 − (50/6)L 2
⇐⇒ a = b = g = d = 0
La famille de polynômes (R 1 , R 2 , R 3 , R 4 ) est donc une famille libre de qui est de dimension 4, c’est donc une base de E = K 3 [X]. La sous-famille (R 1 , R 2 ) est aussi libre et elle
engendre F, c’est donc une base de F et de même (R 3 , R 4 ) est une base de G.
Nous avons donc bien E = F ⊕ G.
On peut facilement généraliser cet exercice.
2. Cet exercice est à rapprocher de l’exemple du cours sur les fonctions impaires et paires.
Si A et B sont des matrices et l un réel, nous savons que la transposée de A + B est la
somme
t A +
t B et que la transposée de lA est l
t A.
Si A est une matrice de M n (K), nous avons les équivalences
A ∈ S ⇐⇒
t A = A
et
A ∈ A ⇐⇒
t A = −A
• L’ensemble S est non vide, il contient la matrice nulle. Soit A et B deux matrices
symétriques éléments de S, l et m deux réels. Nous avons alors
t (lA + mB) =
t (lA) +
t (mB) = l(
t A) + m(
t B) = lA + mB.
L’ensemble S est non vide et stable par combinaison linéaire, c’est donc un sous-espace
vectoriel de M n (K).
• De même, l’ensemble A est non vide, il contient la matrice nulle. Soit A et B deux
matrices antisymétriques éléments de A, l et m deux réels. Nous avons
t (lA + mB) =
t (lA) +
t (mB) = l(
t A) + m(
t B) = l(−A) + m(−B) = −(lA + mB).
414
6.
1. Les ensembles F et G contiennent tous les deux le polynôme nul, ils ne sont
pas vides. Il est immédiat de voir que chacun de ces ensembles est stable par combinaison
linéaire.
Les ensembles F et G sont donc des sous-espaces vectoriels de E = K 3 [X].
• Soit un polynôme P ∈ F ∪ G, P est de degré inférieur ou égal à 3 et il admet 4 racines
1, 2, 3 et 4 ; P est donc le polynôme nul.
Nous avons donc F ∩ G = {0}.
• Soit un polynôme P ∈ F. Puisque P a pour racine 1 et 2, P se factorise par (X−1)(X−2),
il existe donc des réels a et b tels que P = (aX + b)(X − 1)(X − 2) ; et nous avons donc
P = aR 1 + bR 2 en posant R 1 = X(X − 1)(X − 2) et R 2 = (X − 1)(X − 2).
De même nous montrons que pour tout polynôme Q ∈ G il existe donc des réels c et
d tels que Q = (cX + d)(X − 3)(X − 4) ; et nous avons donc Q = cR 3 + dR 4 en posant
R 3 = X(X − 3)(X − 4) et R 4 = (X − 3)(X − 4).
• Montrons que la famille (R 1 , R 2 , R 3 , R 4 ) est une famille libre de K
3 [X]. Soit quatre
réels a, b, g, d tels que pour tout x réel aR 1 (x) + bR 2 (x) + gR 3 (x) + dR 4 (x) = 0. En
prenant successivement x = 0, 1, 3, 5 nous obtenons le système suivant
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
2b
+12d = 0
6g + 6d = 0
6a + 2b
= 0
60a + 12b +10g + 2d = 0
⇐⇒
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
2b
+12d = 0
6g + 6d = 0
6a + 2b
= 0
−40g = 0 L 4 − 10L 3 + 4L 1 − (50/6)L 2
⇐⇒ a = b = g = d = 0
La famille de polynômes (R 1 , R 2 , R 3 , R 4 ) est donc une famille libre de qui est de dimension 4, c’est donc une base de E = K 3 [X]. La sous-famille (R 1 , R 2 ) est aussi libre et elle
engendre F, c’est donc une base de F et de même (R 3 , R 4 ) est une base de G.
Nous avons donc bien E = F ⊕ G.
On peut facilement généraliser cet exercice.
2. Cet exercice est à rapprocher de l’exemple du cours sur les fonctions impaires et paires.
Si A et B sont des matrices et l un réel, nous savons que la transposée de A + B est la
somme
t A +
t B et que la transposée de lA est l
t A.
Si A est une matrice de M n (K), nous avons les équivalences
A ∈ S ⇐⇒
t A = A
et
A ∈ A ⇐⇒
t A = −A
• L’ensemble S est non vide, il contient la matrice nulle. Soit A et B deux matrices
symétriques éléments de S, l et m deux réels. Nous avons alors
t (lA + mB) =
t (lA) +
t (mB) = l(
t A) + m(
t B) = lA + mB.
L’ensemble S est non vide et stable par combinaison linéaire, c’est donc un sous-espace
vectoriel de M n (K).
• De même, l’ensemble A est non vide, il contient la matrice nulle. Soit A et B deux
matrices antisymétriques éléments de A, l et m deux réels. Nous avons
t (lA + mB) =
t (lA) +
t (mB) = l(
t A) + m(
t B) = l(−A) + m(−B) = −(lA + mB).
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