Chapitre 1 – Espaces vectoriels
où k i0 est un scalaire déterminé par la condition P i0 (x i0 ) = 1. Posons donc
P i0 =
⎛
⎜
⎝
n
i=0
i =i 0
(x i0 − x i )
⎞
⎟
⎠
−1 ⎛
⎜
⎝
n
i=0
i =i 0
(X − x i ).
⎞
⎟
⎠ . Le polynôme P i0 satisfait les conditions
demandées, il est le seul à avoir ces propriétés.
∀i ∈ Ú0, nÛ, i = i 0 =⇒ P i0 (x i ) = 0
et
P i0 (x i0 ) = 1
2. Soit Q un polynôme de K n [X] Considérons alors le polynôme Q 1 =
n
i=0
Q(x i )P i .
Pour chaque i 0 ∈ Ú0, nÛ, nous avons
Q 1 (x i0 ) =
n
i=0
Q(x i0 )P i (x i0 ) = Q(x i0 ).
Le polynôme Q − Q 1 de degré inférieur ou égal à n a n + 1 racines distinctes qui sont
x 0 , x 1 , . . . , x n , c’est donc le polynôme nul et Q = Q 1 . Le polynôme Q est donc engendré
par la famille (P i ) i∈Ú0,nÛ . Cette famille de n + 1 vecteurs est génératrice de l’espace K n [X]
qui est de dimension n + 1 ; c’est donc une famille libre et une base de K n [X].
3. Soit maintenant (y i ) i∈Ú0,nÛ une suite de n + 1 scalaires.
Montrons tout d’abord l’unicité du polynôme Q ; Supposons qu’il existe deux polynômes
Q et Q 1 tels que pour tout i ∈ Ú0, nÛ on ait Q(x i ) = Q 1 (x i ) = y i . Comme précédemment,
le polynôme Q − Q 1 de degré inférieur ou égal à n a n + 1 racines, c’est le polynôme nul,
Q = Q 1 , le polynôme Q, s’il existe, est unique.
Il est facile de voir que le polynôme Q =
n
i=0
y i P i est de degré inférieur ou égal à n tel que
pour tout i ∈ Ú0, nÛ on ait Q(x i ) = y i .
En terme plus géométrique, nous avons montré que par exemple 3 points d’abscisses différentes définissent une unique parabole (représentant un unique polynôme du deuxième
degré) sauf s’ils sont alignés, dans ce dernier cas ils définissent une unique droite (représentant un unique polynôme du degré 1 ou 0).
8.
1. ⇒ Sens direct Soit F et G deux sous-espaces vectoriels d’un K-espace vectoriel E tels que F ∪ G soit une sous-espace vectoriel de E.
Supposons qu’il existe dans F ∪ G un couple de vecteurs (u, v) avec u ∈ F \ G et v ∈ G \ F.
Puisque l’addition est une loi de composition interne pour un sous-espace vectoriel, nous
avons u + v ∈ F ∪ G ; si u + v ∈ F, alors v = (u + v) + (−u) ∈ F ce qui contredit v ∈ G \ F ;
si u + v ∈ G, alors u = (u + v) + (−v) ∈ G ce qui contredit u ∈ F \ G.
Dans les deux cas, nous avons une contradiction, ce qui prouve qu’il n’existe pas dans
F ∪ G un couple de vecteurs (u, v) avec u ∈ F \ G et v ∈ G \ F. Nous avons donc ou bien
F ⊂ G ou G ⊂ F.
⇐ Réciproque Soit F et G deux sous-espaces vectoriels d’un K-espace vectoriel E tels
que F ⊂ G ou F ⊂ G Dans cette situation, soit F ∩ G = G soit F ∩ G = F, dans les deux
cas F ∩ G est un sous-espace vectoriel de E.
Ceci démontre donc que F ∪ G est un sous-espace de E ⇐⇒ (F ⊂ G ou G ⊂ F).
2. Soit F G et H trois sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel E, tel que G ⊂ F.
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où k i0 est un scalaire déterminé par la condition P i0 (x i0 ) = 1. Posons donc
P i0 =
⎛
⎜
⎝
n
i=0
i =i 0
(x i0 − x i )
⎞
⎟
⎠
−1 ⎛
⎜
⎝
n
i=0
i =i 0
(X − x i ).
⎞
⎟
⎠ . Le polynôme P i0 satisfait les conditions
demandées, il est le seul à avoir ces propriétés.
∀i ∈ Ú0, nÛ, i = i 0 =⇒ P i0 (x i ) = 0
et
P i0 (x i0 ) = 1
2. Soit Q un polynôme de K n [X] Considérons alors le polynôme Q 1 =
n
i=0
Q(x i )P i .
Pour chaque i 0 ∈ Ú0, nÛ, nous avons
Q 1 (x i0 ) =
n
i=0
Q(x i0 )P i (x i0 ) = Q(x i0 ).
Le polynôme Q − Q 1 de degré inférieur ou égal à n a n + 1 racines distinctes qui sont
x 0 , x 1 , . . . , x n , c’est donc le polynôme nul et Q = Q 1 . Le polynôme Q est donc engendré
par la famille (P i ) i∈Ú0,nÛ . Cette famille de n + 1 vecteurs est génératrice de l’espace K n [X]
qui est de dimension n + 1 ; c’est donc une famille libre et une base de K n [X].
3. Soit maintenant (y i ) i∈Ú0,nÛ une suite de n + 1 scalaires.
Montrons tout d’abord l’unicité du polynôme Q ; Supposons qu’il existe deux polynômes
Q et Q 1 tels que pour tout i ∈ Ú0, nÛ on ait Q(x i ) = Q 1 (x i ) = y i . Comme précédemment,
le polynôme Q − Q 1 de degré inférieur ou égal à n a n + 1 racines, c’est le polynôme nul,
Q = Q 1 , le polynôme Q, s’il existe, est unique.
Il est facile de voir que le polynôme Q =
n
i=0
y i P i est de degré inférieur ou égal à n tel que
pour tout i ∈ Ú0, nÛ on ait Q(x i ) = y i .
En terme plus géométrique, nous avons montré que par exemple 3 points d’abscisses différentes définissent une unique parabole (représentant un unique polynôme du deuxième
degré) sauf s’ils sont alignés, dans ce dernier cas ils définissent une unique droite (représentant un unique polynôme du degré 1 ou 0).
8.
1. ⇒ Sens direct Soit F et G deux sous-espaces vectoriels d’un K-espace vectoriel E tels que F ∪ G soit une sous-espace vectoriel de E.
Supposons qu’il existe dans F ∪ G un couple de vecteurs (u, v) avec u ∈ F \ G et v ∈ G \ F.
Puisque l’addition est une loi de composition interne pour un sous-espace vectoriel, nous
avons u + v ∈ F ∪ G ; si u + v ∈ F, alors v = (u + v) + (−u) ∈ F ce qui contredit v ∈ G \ F ;
si u + v ∈ G, alors u = (u + v) + (−v) ∈ G ce qui contredit u ∈ F \ G.
Dans les deux cas, nous avons une contradiction, ce qui prouve qu’il n’existe pas dans
F ∪ G un couple de vecteurs (u, v) avec u ∈ F \ G et v ∈ G \ F. Nous avons donc ou bien
F ⊂ G ou G ⊂ F.
⇐ Réciproque Soit F et G deux sous-espaces vectoriels d’un K-espace vectoriel E tels
que F ⊂ G ou F ⊂ G Dans cette situation, soit F ∩ G = G soit F ∩ G = F, dans les deux
cas F ∩ G est un sous-espace vectoriel de E.
Ceci démontre donc que F ∪ G est un sous-espace de E ⇐⇒ (F ⊂ G ou G ⊂ F).
2. Soit F G et H trois sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel E, tel que G ⊂ F.
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