Chapitre 12 – Convergences et approximations
5.
Un étudiant fait en moyenne une faute d’orthographe tous les 500 mots. Quelle est
la probabilité qu’il ne fasse pas plus de 5 fautes dans un devoir contenant 200 mots ?
On utilisera l’approximation d’une loi binomiale par un loi de Poisson.
6.
5 000 personnes sont rassemblées dans une salle de concert. La probabilité qu’une
personne quelconque achète un T-Shirt à l’effigie du chanteur est 0, 4. De combien de TShirts doit-on disposer pour que la probabilité que l’on vienne à en manquer soit inférieure
à 0, 1 ?
7.
Un dé régulier est lancé 9 000 fois. Déterminer la probabilité d’obtenir le résultat 6
entre 1 400 et 1 600 fois (on comparera les résultats obtenus par approximation de loi et par
l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev)
8.
Un commando de soldats doit traverser une rivière, malheureusement infestée de
crocodiles. La probabilité qu’un soldat soit dévoré au cours de la traversée est de
1
10
· Combien
faut-il envoyer de soldats pour que la probabilité d’avoir au moins 300 personnes sur l’autre
rive soit supérieure à 95 % ?
9.
Une entreprise compte 300 employés. Chacun d’eux téléphone en moyenne 6
minutes par heures. Quel est le nombre de lignes que l’entreprise doit installer pour que la
probabilité que toutes les lignes soient utilisées au même instant soit au plus égale à 0, 025 ?
10.
On considère une suite (X n ) n∈N ∗ de variables de Poisson indépendantes de paramètre 1. On pose S n = X 1 + X 2 + · · · + X n .
1. Quelle est la loi de S n ?
2. Déterminer P
[S n n]).
3. En utilisant le théorème central limite, montrer que
lim
n→+∞
e
−n
n
k=0
n
k
k!
=
1
2
·
11.
Dans un élevage de poules pondeuses, aux heures de ponte maximale, le nombre
X d’œufs pondus dans un enclos en 15 minutes suit une loi de Poisson de paramètre 10.
1. Quelles sont les valeurs de X ayant la probabilité maximale ?
2. Quelle est la probabilité pour que, au cours de 15 minutes, il y ait entre 7 et 12 œufs pondus
(au sens large) ?
3. Certains œufs sont déclassés (cassés ou de poids insuffisant). La probabilité pour qu’un œuf
pondu soit déclassé est 0, 03. Sur un lot de N œufs pondus, quelle est la loi de probabilité
suivie par le nombre Y N d’œufs déclassés ?
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5.
Un étudiant fait en moyenne une faute d’orthographe tous les 500 mots. Quelle est
la probabilité qu’il ne fasse pas plus de 5 fautes dans un devoir contenant 200 mots ?
On utilisera l’approximation d’une loi binomiale par un loi de Poisson.
6.
5 000 personnes sont rassemblées dans une salle de concert. La probabilité qu’une
personne quelconque achète un T-Shirt à l’effigie du chanteur est 0, 4. De combien de TShirts doit-on disposer pour que la probabilité que l’on vienne à en manquer soit inférieure
à 0, 1 ?
7.
Un dé régulier est lancé 9 000 fois. Déterminer la probabilité d’obtenir le résultat 6
entre 1 400 et 1 600 fois (on comparera les résultats obtenus par approximation de loi et par
l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev)
8.
Un commando de soldats doit traverser une rivière, malheureusement infestée de
crocodiles. La probabilité qu’un soldat soit dévoré au cours de la traversée est de
1
10
· Combien
faut-il envoyer de soldats pour que la probabilité d’avoir au moins 300 personnes sur l’autre
rive soit supérieure à 95 % ?
9.
Une entreprise compte 300 employés. Chacun d’eux téléphone en moyenne 6
minutes par heures. Quel est le nombre de lignes que l’entreprise doit installer pour que la
probabilité que toutes les lignes soient utilisées au même instant soit au plus égale à 0, 025 ?
10.
On considère une suite (X n ) n∈N ∗ de variables de Poisson indépendantes de paramètre 1. On pose S n = X 1 + X 2 + · · · + X n .
1. Quelle est la loi de S n ?
2. Déterminer P
[S n n]).
3. En utilisant le théorème central limite, montrer que
lim
n→+∞
e
−n
n
k=0
n
k
k!
=
1
2
·
11.
Dans un élevage de poules pondeuses, aux heures de ponte maximale, le nombre
X d’œufs pondus dans un enclos en 15 minutes suit une loi de Poisson de paramètre 10.
1. Quelles sont les valeurs de X ayant la probabilité maximale ?
2. Quelle est la probabilité pour que, au cours de 15 minutes, il y ait entre 7 et 12 œufs pondus
(au sens large) ?
3. Certains œufs sont déclassés (cassés ou de poids insuffisant). La probabilité pour qu’un œuf
pondu soit déclassé est 0, 03. Sur un lot de N œufs pondus, quelle est la loi de probabilité
suivie par le nombre Y N d’œufs déclassés ?
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