1.
En utilisant l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, montrer que, pour tout x > 0,
x
−∞
e
−
t 2
2 dt
√
2p
1 −
1
2x 2
·
2.
Soit (X n ) n1 une suite de variables aléatoires réelles, indépendantes de même loi,
de fonction de répartition F, définies sur un même espace probabilisé. Pour tous x ∈ R et
n ∈ N
∗ , on note Z n,x le nombre de variables X i , pour i ∈ [[1, n]], qui prennent une valeur
inférieure ou égale à x. On pose T n,x =
1
n
Z n,x .
1. Déterminer la loi de Z n,x , son espérance et sa variance. Déterminer un majorant de V (Z n,x ),
indépendant x.
2. Montrer que, pour tout ´ > 0, on a
lim
n→+∞
P
[|T n,x − F(x)| ´]
= 0.
3.
Soit (X n ) n1 une suite de v.a.r. définies sur un même espace probabilisé, indépendantes, suivant une loi uniforme sur [0, 1]. Pour n 1, on définit
M n = max(X 1 , X 2 , . . . , X n ) et Y n = n(1 − M n ).
1. Déterminer la fonction de répartition de M n , puis celle de Y n .
2. Montrer que la suite (Y n ) converge en loi vers une variable remarquable.
4.
On réalise une suite de lancers indépendants d’une pièce de monnaie équilibrée. On
associe à cette expérience une suite (X n ) n1 de variables aléatoires indépendantes, définies sur
un espace probabilisé et suivant toutes la loi de Bernoulli de paramètre
1
2 ·
Pour tout entier n supérieur ou égal à 1, on pose S n = X 1 + · · · + X n .
1. a. Déterminer la loi de probabilité de la variable S n .
b. Quelles sont l’espérance et la variance de S n ?
2. a. Montrer que pour tout réel ´ strictement positif, on peut trouver une constante K ´ telle
que, pour tout entier n supérieur ou égal à 1, on ait l’inégalité
P
S n
n
−
1
2
´
K ´
n
·
b. Déduire de la majoration obtenue que, pour tout réel r vérifiant 0 < r <
1
2 , on a
lim
n→+∞
P
S n
n
−
1
2
1
n r
= 0.
3. Montrer, à l’aide du théorème de la limite centrée, que P
S n
n
−
1
2
1
√
n
admet
une limite non nulle quand n tend vers +∞.
403
En utilisant l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, montrer que, pour tout x > 0,
x
−∞
e
−
t 2
2 dt
√
2p
1 −
1
2x 2
·
2.
Soit (X n ) n1 une suite de variables aléatoires réelles, indépendantes de même loi,
de fonction de répartition F, définies sur un même espace probabilisé. Pour tous x ∈ R et
n ∈ N
∗ , on note Z n,x le nombre de variables X i , pour i ∈ [[1, n]], qui prennent une valeur
inférieure ou égale à x. On pose T n,x =
1
n
Z n,x .
1. Déterminer la loi de Z n,x , son espérance et sa variance. Déterminer un majorant de V (Z n,x ),
indépendant x.
2. Montrer que, pour tout ´ > 0, on a
lim
n→+∞
P
[|T n,x − F(x)| ´]
= 0.
3.
Soit (X n ) n1 une suite de v.a.r. définies sur un même espace probabilisé, indépendantes, suivant une loi uniforme sur [0, 1]. Pour n 1, on définit
M n = max(X 1 , X 2 , . . . , X n ) et Y n = n(1 − M n ).
1. Déterminer la fonction de répartition de M n , puis celle de Y n .
2. Montrer que la suite (Y n ) converge en loi vers une variable remarquable.
4.
On réalise une suite de lancers indépendants d’une pièce de monnaie équilibrée. On
associe à cette expérience une suite (X n ) n1 de variables aléatoires indépendantes, définies sur
un espace probabilisé et suivant toutes la loi de Bernoulli de paramètre
1
2 ·
Pour tout entier n supérieur ou égal à 1, on pose S n = X 1 + · · · + X n .
1. a. Déterminer la loi de probabilité de la variable S n .
b. Quelles sont l’espérance et la variance de S n ?
2. a. Montrer que pour tout réel ´ strictement positif, on peut trouver une constante K ´ telle
que, pour tout entier n supérieur ou égal à 1, on ait l’inégalité
P
S n
n
−
1
2
´
K ´
n
·
b. Déduire de la majoration obtenue que, pour tout réel r vérifiant 0 < r <
1
2 , on a
lim
n→+∞
P
S n
n
−
1
2
1
n r
= 0.
3. Montrer, à l’aide du théorème de la limite centrée, que P
S n
n
−
1
2
1
√
n
admet
une limite non nulle quand n tend vers +∞.
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