Chapitre 12 – Convergences et approximations
Preuve
Toute variable de Poisson de paramètre (na) peut être considérée comme la somme de n variables de Poisson
mutuellement indépendantes de même paramètre a. On a donc Sn =
n
k=1
X k où X k désigne une variable
aléatoire de Poisson de paramètre a, et où les X k sont mutuellement indépendantes. Comme les variables de
Poisson admettent une espérance a et une variance a, on est dans le cadre de l’application du théorème de la
limite centrée, et l’on en déduit que la variable centrée réduite S ∗
n =
Sn − na
√
na
converge en loi vers une variable
aléatoire suivant la loi normale centrée réduite.
❑
➤ Remarques
• Pour n assez grand, la loi de Sn peut être approchée par la loi normale N (na, na). Comme a est quelconque,
cela signifie qu’une loi de Poisson de paramètre l peut être approchée par une loi N (l, l), dès que l est assez
grand.
Dans la pratique, dès que l 18, on approche la loi P(l) par la loi normale N (l, l).
• On aura remarqué que l’on approche ici une loi discrète par une loi continue. Ici aussi, on doit souvent utiliser
une correction de continuité.
Exemple
Dans la table de la loi de Poisson de paramètre l = 16, on lit P
[X 21]
≈ 0, 9107.
En approchant X par une variable normale de paramètre (16,16), on est conduit à considérer
que la variable
X − 16
4
suit une loi normale centrée réduite.
On obtient alors P
[X 21]
= P
X − 16
4
1, 25
≈ F(1, 25) ≈ 0, 8944.
L’approximation obtenue n’est pas catastrophique, bien que la valeur de l soit faible.
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