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Théorème de la limite centrée
3.2 Approximation d’une loi binomiale par une loi normale
Théorème 6 (Théorème de Moivre-Laplace)
Soit p ∈ ]0, 1[, q = 1 − p et (S n ) n∈N ∗ une suite de variables aléatoires telle que S n suit la
loi binomiale B(n, p). Alors la suite de variables aléatoires de terme général S
∗
n =
S n − np
√ npq
converge en loi vers une variable aléatoire de loi N (0, 1).
Preuve
Toute variable binomiale de paramètre (n, p) peut être considérée comme la somme de n variables de Bernoulli
mutuellement indépendantes de même paramètre p. On a donc Sn =
n
k=0
X k où X k désigne une variable
aléatoire de Bernoulli de paramètre p, et où les X k sont mutuellement indépendantes. Comme les variables de
Bernoulli admettent une variance pq, on est dans le cadre de l’application du théorème de la limite centrée, et
l’on en déduit que la variable centrée réduite S ∗
n =
Sn − np
√
np q
converge en loi vers une variable aléatoire suivant
la loi normale centrée réduite.
❑
➤ Remarques
• Pour n assez grand, la loi de Sn peut être approchée par la loi normale de paramètre (np, np q). La convergence
est d’autant plus rapide que p est proche de
1
2
. Dans la pratique, dès que n 30, np 5 et nq 5, on
considère qu’on peut approcher B(n, p) par N (np, npq).
• On aura noté que l’on approche ici une loi discrète par une loi continue. On doit alors souvent utiliser la
correction de continuité, et ainsi approcher P
[Sn = k]
par P
[k − 0, 5 < N < k + 0, 5]
, où Sn suit une loi
binomiale et N la loi normale appropriée ; si on prenait P
[N = k]
, on trouverait 0, ce qui ne donnerait pas du
tout une approximation correcte.
Exemple
Soit X une variable binomiale de paramètre (900 ;0,5). On cherche à calculer
P
[405 X 495]
.
Le calcul avec les formules exactes nécessiterait l’utilisation d’un ordinateur, et ne donnerait
de toutes façons qu’un résultat approché.
Mais nous sommes dans les conditions d’approximation de la loi binomiale par la loi normale. On approche la loi B(900; 0, 5) par la loi N (450, 225), et l’on considère que la variable
X − 450
15
suit approximativement la loi normale centrée réduite. On obtient alors
P
[405 X 495]
= P
−3
X − 450
15
3
≈ 2F(3) − 1 ≈ 0, 9973.
3.3 Approximation d’une loi de Poisson par une loi normale
Proposition 4
Soit a un réel strictement positif et (S n ) une suite de variables aléatoires réelles discrètes
telle que S n suit la loi de Poisson de paramètre na. Alors la suite de variables aléatoires de
terme général S
∗
n =
S n − na
√
na
converge en loi vers une variable aléatoire de loi N (0, 1).
401
Théorème de la limite centrée
3.2 Approximation d’une loi binomiale par une loi normale
Théorème 6 (Théorème de Moivre-Laplace)
Soit p ∈ ]0, 1[, q = 1 − p et (S n ) n∈N ∗ une suite de variables aléatoires telle que S n suit la
loi binomiale B(n, p). Alors la suite de variables aléatoires de terme général S
∗
n =
S n − np
√ npq
converge en loi vers une variable aléatoire de loi N (0, 1).
Preuve
Toute variable binomiale de paramètre (n, p) peut être considérée comme la somme de n variables de Bernoulli
mutuellement indépendantes de même paramètre p. On a donc Sn =
n
k=0
X k où X k désigne une variable
aléatoire de Bernoulli de paramètre p, et où les X k sont mutuellement indépendantes. Comme les variables de
Bernoulli admettent une variance pq, on est dans le cadre de l’application du théorème de la limite centrée, et
l’on en déduit que la variable centrée réduite S ∗
n =
Sn − np
√
np q
converge en loi vers une variable aléatoire suivant
la loi normale centrée réduite.
❑
➤ Remarques
• Pour n assez grand, la loi de Sn peut être approchée par la loi normale de paramètre (np, np q). La convergence
est d’autant plus rapide que p est proche de
1
2
. Dans la pratique, dès que n 30, np 5 et nq 5, on
considère qu’on peut approcher B(n, p) par N (np, npq).
• On aura noté que l’on approche ici une loi discrète par une loi continue. On doit alors souvent utiliser la
correction de continuité, et ainsi approcher P
[Sn = k]
par P
[k − 0, 5 < N < k + 0, 5]
, où Sn suit une loi
binomiale et N la loi normale appropriée ; si on prenait P
[N = k]
, on trouverait 0, ce qui ne donnerait pas du
tout une approximation correcte.
Exemple
Soit X une variable binomiale de paramètre (900 ;0,5). On cherche à calculer
P
[405 X 495]
.
Le calcul avec les formules exactes nécessiterait l’utilisation d’un ordinateur, et ne donnerait
de toutes façons qu’un résultat approché.
Mais nous sommes dans les conditions d’approximation de la loi binomiale par la loi normale. On approche la loi B(900; 0, 5) par la loi N (450, 225), et l’on considère que la variable
X − 450
15
suit approximativement la loi normale centrée réduite. On obtient alors
P
[405 X 495]
= P
−3
X − 450
15
3
≈ 2F(3) − 1 ≈ 0, 9973.
3.3 Approximation d’une loi de Poisson par une loi normale
Proposition 4
Soit a un réel strictement positif et (S n ) une suite de variables aléatoires réelles discrètes
telle que S n suit la loi de Poisson de paramètre na. Alors la suite de variables aléatoires de
terme général S
∗
n =
S n − na
√
na
converge en loi vers une variable aléatoire de loi N (0, 1).
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