Chapitre 12 – Convergences et approximations
Alors la suite (Y
∗
n ) n∈N ∗ converge en loi vers une variable aléatoire de loi N (0, 1), c’est-àdire que, pour tout (a, b) ∈ R
2 tel que a < b, on a
lim
n→+∞
P([a < Y
∗
n b]) = lim
n→+∞
P
⎛
⎜
⎝
⎡
⎢
⎣a <
X 1 + · · · + X n
n
− m
s
√
n
b
⎤
⎥
⎦
⎞
⎟
⎠ =
b
a
1
√
2p
e
−
t 2
2 dt.
➤ Remarques
• La variable Y ∗
n est la variable centrée réduite associée à Yn. On a en effet, puisque les variables X k sont indépendantes, E(Yn) =
1
n
nm = m et V(Yn) =
1
n 2 ns
2 =
s
2
n
.
Si on pose Sn =
n
k=1
X k , on a Sn = nYn donc S ∗
n = Y ∗
n . Dans l’énoncé du théorème, on peut remplacer Y ∗
n par
S ∗
n =
X1 + · · · + Xn − nm
s
√
n
• Comme Sn = s
√
nY ∗
n +nm, la variable aléatoire Sn suit approximativement la loi N (nm, ns
2 ), c’est-à-dire la loi
normale qui a même espérance et même variance que Sn. On ne peut évidemment pas dire que (Sn) converge
en loi vers une variable aléatoire de loi N (nm, ns
2 ), puisque celle-ci dépend de n.
• Ce théorème est encore appelé « théorème central limite ».
• Ce théorème est remarquable en ce que, avec peu d’hypothèses, on obtient un résultat très fort. Il met en
évidence le rôle central joué par la loi de Laplace-Gauss en probabilités et en statistiques.
Exercice 1.
Une montre fait une erreur d’au plus une demi-minute par jour. Déterminer la probabilité
que l’erreur commise au bout d’une année soit inférieure ou égale à un quart d’heure.
Solution. On choisit comme unité de temps la minute. En l’absence d’autre indication, on
peut supposer que l’erreur commise un jour donnée suit une loi uniforme sur
−
1
2
,
1
2
. On
note X k la variable aléatoire égale à l’erreur commise le k-ième jour de l’année. On suppose
que les variables X k sont indépendantes. On a donc X k → U
−
1
2
,
1
2
et, si l’année n’est pas
bissextile, l’erreur commise au bout d’un an est S =
365
k=1
X k .
On obtient E(X 1 ) = 0 et V (X 1 ) =
1
12
et donc E(S) = 0, V (S) =
365
12
, puis S
∗ =
S
√
12
√
365
. La
variable S
∗ suit approximativement une loi normale centrée réduite. On en déduit
P(|S| 15) = P
|S
∗
|
15
√
12
√
365
≈ 2F
15
√
12
√
365
− 1 ≈ 2F(2, 72) − 1 ≈ 0, 993.
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Alors la suite (Y
∗
n ) n∈N ∗ converge en loi vers une variable aléatoire de loi N (0, 1), c’est-àdire que, pour tout (a, b) ∈ R
2 tel que a < b, on a
lim
n→+∞
P([a < Y
∗
n b]) = lim
n→+∞
P
⎛
⎜
⎝
⎡
⎢
⎣a <
X 1 + · · · + X n
n
− m
s
√
n
b
⎤
⎥
⎦
⎞
⎟
⎠ =
b
a
1
√
2p
e
−
t 2
2 dt.
➤ Remarques
• La variable Y ∗
n est la variable centrée réduite associée à Yn. On a en effet, puisque les variables X k sont indépendantes, E(Yn) =
1
n
nm = m et V(Yn) =
1
n 2 ns
2 =
s
2
n
.
Si on pose Sn =
n
k=1
X k , on a Sn = nYn donc S ∗
n = Y ∗
n . Dans l’énoncé du théorème, on peut remplacer Y ∗
n par
S ∗
n =
X1 + · · · + Xn − nm
s
√
n
• Comme Sn = s
√
nY ∗
n +nm, la variable aléatoire Sn suit approximativement la loi N (nm, ns
2 ), c’est-à-dire la loi
normale qui a même espérance et même variance que Sn. On ne peut évidemment pas dire que (Sn) converge
en loi vers une variable aléatoire de loi N (nm, ns
2 ), puisque celle-ci dépend de n.
• Ce théorème est encore appelé « théorème central limite ».
• Ce théorème est remarquable en ce que, avec peu d’hypothèses, on obtient un résultat très fort. Il met en
évidence le rôle central joué par la loi de Laplace-Gauss en probabilités et en statistiques.
Exercice 1.
Une montre fait une erreur d’au plus une demi-minute par jour. Déterminer la probabilité
que l’erreur commise au bout d’une année soit inférieure ou égale à un quart d’heure.
Solution. On choisit comme unité de temps la minute. En l’absence d’autre indication, on
peut supposer que l’erreur commise un jour donnée suit une loi uniforme sur
−
1
2
,
1
2
. On
note X k la variable aléatoire égale à l’erreur commise le k-ième jour de l’année. On suppose
que les variables X k sont indépendantes. On a donc X k → U
−
1
2
,
1
2
et, si l’année n’est pas
bissextile, l’erreur commise au bout d’un an est S =
365
k=1
X k .
On obtient E(X 1 ) = 0 et V (X 1 ) =
1
12
et donc E(S) = 0, V (S) =
365
12
, puis S
∗ =
S
√
12
√
365
. La
variable S
∗ suit approximativement une loi normale centrée réduite. On en déduit
P(|S| 15) = P
|S
∗
|
15
√
12
√
365
≈ 2F
15
√
12
√
365
− 1 ≈ 2F(2, 72) − 1 ≈ 0, 993.
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