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Théorème de la limite centrée
Nous avons, quand n tend vers +∞, n(n − 1) · · · (n − k + 1) ∼ n
k donc lim
n→+∞
n(n − 1) · · · (n − k + 1)
n k
= 1.
D’autre part, puisque
l
n
tend vers 0, on a ln
1 −
l
n
∼ −
l
n
et donc
lim
n→+∞
(n − k) ln
1 −
l
n
= lim
n→+∞
(n − k)
−
l
n
= −l.
On obtient lim
n→+∞
P
[Xn = k]
=
l
k
k!
e
−l .
❑
➤ Remarques
• Dans une urne contenant des boules blanches ou rouges, la proportion de boules blanches étant p, on tire
n boules avec remise. Si p est proche de 0 et n assez grand, la variable aléatoire égale au nombre de boules
blanches tirées suivra approximativement une loi de Poisson. On dit que la loi de Poisson est la loi des « événements rares ».
• Dans la pratique, dès que n 30 et p 0, 1, on considère qu’on peut approcher la loi binomiale de
paramètre (n, p) par la loi de Poisson de paramètre l = np. Notons cependant que les tables de la loi de
Poisson usuelles n’existent que pour l 15. Cela introduit la contrainte supplémentaire np 15.
• En faisant cette approximation, on remplace une loi dépendant de deux réels n et p par une loi qui ne dépend
que d’un réel l.
Exemple
On considère une variable aléatoire X suivant la loi binomiale B(100; 0, 05), et l’on s’intéresse
à la probabilité pour que X prenne la valeur 2.
• Calcul exact
P([X = 2]) =
100
2
(0, 05)
2 (0, 95)
98 = 4950 × 0, 0025 × (0, 95)
98
≈ 0, 0812.
• Calcul approché :
Nous sommes dans les conditions de l’approximation de la loi binomiale par la loi de Poisson. On approche donc la loi B(100; 0, 05) par la loi P(100 × 0, 05) = P(5). On obtient
P([X = 2]) ≈ e
−5
×
5
2
2!
≈ 0, 0843.
3. Théorème de la limite centrée
3.1 Théorème de la limite centrée
Nous admettrons le théorème suivant.
Théorème 5
Soit (X n ) n∈N ∗ une suite de variables aléatoires réelles définies sur un même espace probabilisé (V, T , P), mutuellement indépendantes, de même loi, admettant une variance non
nulle. On note
m = E(X 1 ) s =
V (X 1 )
et pour tout n ∈ N
∗ ,
Y n =
1
n
n
k=1
X k , Y
∗
n =
(Y n − m)
s
√
n
·
399
Théorème de la limite centrée
Nous avons, quand n tend vers +∞, n(n − 1) · · · (n − k + 1) ∼ n
k donc lim
n→+∞
n(n − 1) · · · (n − k + 1)
n k
= 1.
D’autre part, puisque
l
n
tend vers 0, on a ln
1 −
l
n
∼ −
l
n
et donc
lim
n→+∞
(n − k) ln
1 −
l
n
= lim
n→+∞
(n − k)
−
l
n
= −l.
On obtient lim
n→+∞
P
[Xn = k]
=
l
k
k!
e
−l .
❑
➤ Remarques
• Dans une urne contenant des boules blanches ou rouges, la proportion de boules blanches étant p, on tire
n boules avec remise. Si p est proche de 0 et n assez grand, la variable aléatoire égale au nombre de boules
blanches tirées suivra approximativement une loi de Poisson. On dit que la loi de Poisson est la loi des « événements rares ».
• Dans la pratique, dès que n 30 et p 0, 1, on considère qu’on peut approcher la loi binomiale de
paramètre (n, p) par la loi de Poisson de paramètre l = np. Notons cependant que les tables de la loi de
Poisson usuelles n’existent que pour l 15. Cela introduit la contrainte supplémentaire np 15.
• En faisant cette approximation, on remplace une loi dépendant de deux réels n et p par une loi qui ne dépend
que d’un réel l.
Exemple
On considère une variable aléatoire X suivant la loi binomiale B(100; 0, 05), et l’on s’intéresse
à la probabilité pour que X prenne la valeur 2.
• Calcul exact
P([X = 2]) =
100
2
(0, 05)
2 (0, 95)
98 = 4950 × 0, 0025 × (0, 95)
98
≈ 0, 0812.
• Calcul approché :
Nous sommes dans les conditions de l’approximation de la loi binomiale par la loi de Poisson. On approche donc la loi B(100; 0, 05) par la loi P(100 × 0, 05) = P(5). On obtient
P([X = 2]) ≈ e
−5
×
5
2
2!
≈ 0, 0843.
3. Théorème de la limite centrée
3.1 Théorème de la limite centrée
Nous admettrons le théorème suivant.
Théorème 5
Soit (X n ) n∈N ∗ une suite de variables aléatoires réelles définies sur un même espace probabilisé (V, T , P), mutuellement indépendantes, de même loi, admettant une variance non
nulle. On note
m = E(X 1 ) s =
V (X 1 )
et pour tout n ∈ N
∗ ,
Y n =
1
n
n
k=1
X k , Y
∗
n =
(Y n − m)
s
√
n
·
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