Chapitre 12 – Convergences et approximations
➤ Remarques
• Dans une urne contenant N boules blanches ou rouges, la proportion de boules blanches étant p, on tire
simultanément n boules. Si N devient très grand, on obtient à peu près le même résultat que si les tirages sont
effectués avec remise.
• Dans la pratique, dès que N 10 n, on considère qu’on peut approcher la loi hypergéométrique de
paramètre (N, n, p) par la loi binomiale de paramètre (n, p).
• En faisant cette approximation, on remplace une loi dépendant de deux réels N, n et p par une loi qui ne
dépend que de deux réels n et p.
Exemple
Soit X une variable aléatoire suivant la loi hypergéométrique de paramètre (100; 4; 0, 05).
Intéressons nous à P
[X 1]
.
• Calcul exact :
P
[X 1]
= 1 − P(X = 0) = 1 −
5
0
95
4
100
4
= 1 −
95 × 94 × 93 × 92
4 × 3 × 2 × 1
×
4 × 3 × 2 × 1
100 × 99 × 98 × 97
≈ 0, 188.
• Calcul approché :
Approchons la loi H(100; 4; 0, 05) par la loi B(4; 0, 05). On a alors
P
[X 1]
= 1 − P
[X = 0]
≈ 1 −
4
0
× (0, 05)
0 (0, 95)
4
≈ 0, 185.
Approximation d’une loi binomiale par une loi de Poisson
Proposition 3
Soit l un réel strictement positif et (X n ) n∈N une suite de variables aléatoires réelles discrètes
telles que X n suit la loi binomiale de paramètre
n,
l
n
. Alors, pour tout entier k de N,
on a
lim
n→+∞
P
[X n = k]
=
l
k
k!
e
−l .
La suite (X n ) n∈N converge en loi vers une variable aléatoire X qui suit la loi de Poisson de
paramètre l.
Preuve
Pour tout entier k (fixé) et pour tout entier n k,
P
[Xn = k]
=
n
k
l
n
k
1 −
l
n
n−k
=
l
k
k!
·
n(n − 1) · · · (n − k + 1)
n k
e
(n−k) ln
1−
l
n
.
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