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Convergence en loi
Réciproquement, supposons que pour tout entier naturel k,
lim
n→+∞
P
[Xn = k]
= P
[X = k]
.
Soit x un réel quelconque. Si x < 0, on a, pour tout n ∈ N, FX n (x) = 0 et donc lim
n→+∞
FX n (x) = 0 = FX (x). Si
x 0, on obtient, pour tout n ∈ N,
FX n (x) =
x
k=0
P
[Xn = k]
,
où x représente la partie entière de x.
On a, par hypothèse , pour tout k ∈ N, lim
n→+∞
P
[Xn = k]
= P
[X = k]
. Comme x est fixé, il en est de
même de x et la limite d’une somme de suites étant la somme des limites, on obtient,
lim
n→+∞
FX n (x) =
x
k=0
P
[X = k]
= FX (x).
Cela prouve que (Xn) n∈N converge en loi vers X.
❑
Approximation d’une loi hypergéométrique par une loi binomiale
Proposition 2
Soit (X N ) N∈N une suite de variables aléatoires réelles discrètes telles que X N suit la loi
hypergéométrique de paramètre (N, n, p), où n et p sont fixés et N appartient à l’ensemble
I des entiers tels que Np soit entier. Alors, pour tout entier k de Ú0, nÛ, on a
lim
N→+∞
N∈I
P
[X N = k]
=
n
k
p
k (1 − p)
n−k .
La suite (X N ) N∈I converge en loi vers une variable aléatoire X qui suit la loi binomiale de
paramètre (n, p).
Preuve
Rappelons que
P
[XN = k]
=
Np
k
Nq
n−k
N
n
·
Alors
P
[XN = k]
=
(Np)! (Nq)! n! (N − n)!
k! (Np − k)! (n − k)! (Np − n + k)!
=
n!
k!(n − k)!
(Np) · · · (Np − k + 1)(Nq) · · · (Nq − n + k + 1)
N(N − 1) · · · (N − n + 1)
·
Or les produits (Np)(Np − 1) · · · (Np − k + 1)(Nq)(Nq − 1) · · · (Nq − n + k + 1) et N(N − 1) · · · (N − n + 1) possèdent
n facteurs, n étant indépendant de N. Ce sont des fonctions polynomiales de N, équivalentes quand N tend vers
+∞ à leur terme de plus haut degré, c’est à dire p
k q
n−k N
n et N
n respectivement. On obtient donc
lim
N→+∞
(Np)(Np − 1) · · · (Np − k + 1)(Nq) · · · (Nq − n + k + 1)
N(N − 1) · · · (N − n + 1)
= p
k q
n−k .
et
lim
N→+∞
P
[XN = k]
=
n
k
p
k (1 − p)
n−k .
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Convergence en loi
Réciproquement, supposons que pour tout entier naturel k,
lim
n→+∞
P
[Xn = k]
= P
[X = k]
.
Soit x un réel quelconque. Si x < 0, on a, pour tout n ∈ N, FX n (x) = 0 et donc lim
n→+∞
FX n (x) = 0 = FX (x). Si
x 0, on obtient, pour tout n ∈ N,
FX n (x) =
x
k=0
P
[Xn = k]
,
où x représente la partie entière de x.
On a, par hypothèse , pour tout k ∈ N, lim
n→+∞
P
[Xn = k]
= P
[X = k]
. Comme x est fixé, il en est de
même de x et la limite d’une somme de suites étant la somme des limites, on obtient,
lim
n→+∞
FX n (x) =
x
k=0
P
[X = k]
= FX (x).
Cela prouve que (Xn) n∈N converge en loi vers X.
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Approximation d’une loi hypergéométrique par une loi binomiale
Proposition 2
Soit (X N ) N∈N une suite de variables aléatoires réelles discrètes telles que X N suit la loi
hypergéométrique de paramètre (N, n, p), où n et p sont fixés et N appartient à l’ensemble
I des entiers tels que Np soit entier. Alors, pour tout entier k de Ú0, nÛ, on a
lim
N→+∞
N∈I
P
[X N = k]
=
n
k
p
k (1 − p)
n−k .
La suite (X N ) N∈I converge en loi vers une variable aléatoire X qui suit la loi binomiale de
paramètre (n, p).
Preuve
Rappelons que
P
[XN = k]
=
Np
k
Nq
n−k
N
n
·
Alors
P
[XN = k]
=
(Np)! (Nq)! n! (N − n)!
k! (Np − k)! (n − k)! (Np − n + k)!
=
n!
k!(n − k)!
(Np) · · · (Np − k + 1)(Nq) · · · (Nq − n + k + 1)
N(N − 1) · · · (N − n + 1)
·
Or les produits (Np)(Np − 1) · · · (Np − k + 1)(Nq)(Nq − 1) · · · (Nq − n + k + 1) et N(N − 1) · · · (N − n + 1) possèdent
n facteurs, n étant indépendant de N. Ce sont des fonctions polynomiales de N, équivalentes quand N tend vers
+∞ à leur terme de plus haut degré, c’est à dire p
k q
n−k N
n et N
n respectivement. On obtient donc
lim
N→+∞
(Np)(Np − 1) · · · (Np − k + 1)(Nq) · · · (Nq − n + k + 1)
N(N − 1) · · · (N − n + 1)
= p
k q
n−k .
et
lim
N→+∞
P
[XN = k]
=
n
k
p
k (1 − p)
n−k .
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