Chapitre 12 – Convergences et approximations
2. Convergence en loi
2.1 Définition
Considérons une suite (X n ) n∈N de variables aléatoires réelles, et X une variable aléatoire réelle. Une façon d’aborder le problème de la convergence de la suite (X n ) n∈N
vers la variable aléatoire X est de considérer qu’une variable aléatoire réelle est définie
par la donnée de sa fonction de répartition F Xn et d’envisager la convergence pour
tout réel x de la suite F Xn (x) vers F X (x).
Définition 1
Soit (X n ) n∈N une suite de variables aléatoires réelles. On note F Xn la fonction de répartition
de X n .
On dit que la suite (X n ) n∈N converge en loi vers la variable aléatoire réelle X de fonction
de répartition F X si la suite
F Xn (x)
converge vers F X (x) en tout x où F X est continue.
➤ Remarque
En réalité, la notion de convergence en loi n’est pas relative aux variables aléatoires elles-mêmes, mais concerne
les lois des variables aléatoires. Elle n’indique aucune proximité entre la fonction Xn et la fonction X.
Proposition 1
Soit (X n ) une suite de variables aléatoires réelles convergeant en loi vers la variable aléatoire
réelle X. Soit a et b deux points de continuité de F X , a < b. On a alors
lim
n→+∞
P
[a < X n b]
= P
[a < X b]
.
Preuve
Pour tout entier n, P
[a < Xn b]
= FX n (b) − FX n (a). On en déduit, puisque FX est continue en a et b,
lim
n→+∞
P
[a < Xn b]
= lim
n→+∞
FX n (b) − lim
n→+∞
FX n (a) = FX (b) − FX (a)
= P
[a < X b]
.
❑
2.2 Convergence en loi des variables à valeurs entières
Théorème 4
Soit (X n ) n∈N une suite de variables aléatoires réelles discrètes et X une variable aléatoire
réelle discrète telles que, pour tout entier n, X n (V) ⊂ N et X(V) ⊂ N.
Dans ces conditions, (X n ) n∈N converge en loi vers X si, et seulement si, pour tout entier
naturel k, lim
n→+∞
P
[X n = k]
) = P
[X = k]
.
Preuve
Supposons que (Xn) n∈N converge en loi vers X. Alors, pour tout entier naturel k, les réels a = k −
1
2
et
b = k +
1
2
sont des points de continuité de FX , puisque les points de discontinuité de la fonction FX sont les
éléments de X(V). On a donc, d’après la proposition 1, lim
n→+∞
P
[a < Xn b]
= P
[a < X b]
, ce qui
est le résultat annoncé puisque P
[a < Xn b]
= P
[Xn = k]
et P
[a < X b]
= P
[X = k]
.
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2. Convergence en loi
2.1 Définition
Considérons une suite (X n ) n∈N de variables aléatoires réelles, et X une variable aléatoire réelle. Une façon d’aborder le problème de la convergence de la suite (X n ) n∈N
vers la variable aléatoire X est de considérer qu’une variable aléatoire réelle est définie
par la donnée de sa fonction de répartition F Xn et d’envisager la convergence pour
tout réel x de la suite F Xn (x) vers F X (x).
Définition 1
Soit (X n ) n∈N une suite de variables aléatoires réelles. On note F Xn la fonction de répartition
de X n .
On dit que la suite (X n ) n∈N converge en loi vers la variable aléatoire réelle X de fonction
de répartition F X si la suite
F Xn (x)
converge vers F X (x) en tout x où F X est continue.
➤ Remarque
En réalité, la notion de convergence en loi n’est pas relative aux variables aléatoires elles-mêmes, mais concerne
les lois des variables aléatoires. Elle n’indique aucune proximité entre la fonction Xn et la fonction X.
Proposition 1
Soit (X n ) une suite de variables aléatoires réelles convergeant en loi vers la variable aléatoire
réelle X. Soit a et b deux points de continuité de F X , a < b. On a alors
lim
n→+∞
P
[a < X n b]
= P
[a < X b]
.
Preuve
Pour tout entier n, P
[a < Xn b]
= FX n (b) − FX n (a). On en déduit, puisque FX est continue en a et b,
lim
n→+∞
P
[a < Xn b]
= lim
n→+∞
FX n (b) − lim
n→+∞
FX n (a) = FX (b) − FX (a)
= P
[a < X b]
.
❑
2.2 Convergence en loi des variables à valeurs entières
Théorème 4
Soit (X n ) n∈N une suite de variables aléatoires réelles discrètes et X une variable aléatoire
réelle discrète telles que, pour tout entier n, X n (V) ⊂ N et X(V) ⊂ N.
Dans ces conditions, (X n ) n∈N converge en loi vers X si, et seulement si, pour tout entier
naturel k, lim
n→+∞
P
[X n = k]
) = P
[X = k]
.
Preuve
Supposons que (Xn) n∈N converge en loi vers X. Alors, pour tout entier naturel k, les réels a = k −
1
2
et
b = k +
1
2
sont des points de continuité de FX , puisque les points de discontinuité de la fonction FX sont les
éléments de X(V). On a donc, d’après la proposition 1, lim
n→+∞
P
[a < Xn b]
= P
[a < X b]
, ce qui
est le résultat annoncé puisque P
[a < Xn b]
= P
[Xn = k]
et P
[a < X b]
= P
[X = k]
.
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