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Loi faible des grand nombres
Par l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, on obtient
∀´ > 0, P
|Yn − m| ´
s
2
n´ 2 ·
On en déduit que, pour tout ´ > 0,
lim
n→+∞
P
|Yn − m| ´
= 0.
❑
➤ Remarques
• Les hypothèses du théorème précédent sont remplies en particulier lorsque les variables aléatoires Xn sont
mutuellement indépendantes, de même loi et admettent un espérance et une variance. C’est dans ce cadre
qu’on l’utilise en général.
• L’appellation « loi faible des grands nombres » suggère qu’il y a des résultats plus forts. Pour une suite (Xn) de
variables aléatoires mutuellement indépendantes, de même loi et admettent un espérance et une variance, on
peut démontrer que la suite (Xn) converge presque sûrement vers m, c’est-à-dire que l’ensemble A des éléments
v ∈ V pour lesquels la suite de réels (Xn(v)) converge vers m est de probabilité 1.
• La propriété : pour tout ´ > 0, lim
n→+∞
P
|Yn − m| ´
= 0 signifie qu’en un certain sens la suite (Yn)
converge vers m. On dit que (Yn) converge en probabilité vers m ; cette notion n’est pas au programme.
Théorème 3 (Théorème de Bernoulli)
Soit (X n ) n∈N une suite de variables de Bernoulli indépendantes, de même paramètre p, sur
l’espace probabilisé (V, T , P). On pose
Y n =
X 1 + X 2 + · · · + X n
n
·
Alors, pour tout ´ > 0, on a
lim
n→+∞
P
|Y n − p| ´
= 0.
Preuve
Il s’agit d’un cas particulier du théorème précédent, où m = p et s
2 = p(1 − p). On obtient, pour tout ´ > 0,
∀´ > 0, P
|Yn − p| ´
s
2
n´ 2 ·
❑
Exemple
Soit A un événement d’un espace probabilisé (V, T , P). On considère une suite d’épreuves
indépendantes. Pour n ∈ N
∗ , on note X n la variable de Bernoulli qui vaut 1 si l’événement
A est réalisé lors de la n-ième épreuve ; elle est de paramètre p = P(A). Alors Y n est égal à la
fréquence de réalisation de l’événement A. Cette fréquence a pour limite p = P(A) quand n
tend vers +∞.
La loi faible des grands nombres s’accorde avec l’intuition qui, dans le cas d’un espace probabilisé fini, voit la probabilité d’un événement comme une fréquence.
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Loi faible des grand nombres
Par l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, on obtient
∀´ > 0, P
|Yn − m| ´
s
2
n´ 2 ·
On en déduit que, pour tout ´ > 0,
lim
n→+∞
P
|Yn − m| ´
= 0.
❑
➤ Remarques
• Les hypothèses du théorème précédent sont remplies en particulier lorsque les variables aléatoires Xn sont
mutuellement indépendantes, de même loi et admettent un espérance et une variance. C’est dans ce cadre
qu’on l’utilise en général.
• L’appellation « loi faible des grands nombres » suggère qu’il y a des résultats plus forts. Pour une suite (Xn) de
variables aléatoires mutuellement indépendantes, de même loi et admettent un espérance et une variance, on
peut démontrer que la suite (Xn) converge presque sûrement vers m, c’est-à-dire que l’ensemble A des éléments
v ∈ V pour lesquels la suite de réels (Xn(v)) converge vers m est de probabilité 1.
• La propriété : pour tout ´ > 0, lim
n→+∞
P
|Yn − m| ´
= 0 signifie qu’en un certain sens la suite (Yn)
converge vers m. On dit que (Yn) converge en probabilité vers m ; cette notion n’est pas au programme.
Théorème 3 (Théorème de Bernoulli)
Soit (X n ) n∈N une suite de variables de Bernoulli indépendantes, de même paramètre p, sur
l’espace probabilisé (V, T , P). On pose
Y n =
X 1 + X 2 + · · · + X n
n
·
Alors, pour tout ´ > 0, on a
lim
n→+∞
P
|Y n − p| ´
= 0.
Preuve
Il s’agit d’un cas particulier du théorème précédent, où m = p et s
2 = p(1 − p). On obtient, pour tout ´ > 0,
∀´ > 0, P
|Yn − p| ´
s
2
n´ 2 ·
❑
Exemple
Soit A un événement d’un espace probabilisé (V, T , P). On considère une suite d’épreuves
indépendantes. Pour n ∈ N
∗ , on note X n la variable de Bernoulli qui vaut 1 si l’événement
A est réalisé lors de la n-ième épreuve ; elle est de paramètre p = P(A). Alors Y n est égal à la
fréquence de réalisation de l’événement A. Cette fréquence a pour limite p = P(A) quand n
tend vers +∞.
La loi faible des grands nombres s’accorde avec l’intuition qui, dans le cas d’un espace probabilisé fini, voit la probabilité d’un événement comme une fréquence.
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