Chapitre 12 – Convergences et approximations
• Si X est une variable aléatoire à densité, de densité f, la fonction f est nulle sur R − car X est à valeurs
positives. D’autre part, on a P
[X a]
=
+∞
a
f (t) dt. On en déduit, puisque f est positive,
E(X) =
+∞
0
tf (t) dt
+∞
a
tf (t) dt
+∞
a
af (t) dt aP
[X a]
.
❑
Théorème 1 (Inégalité de Bienaymé-Tchebychev)
Toute variable aléatoire réelle X admettant un moment d’ordre deux vérifie l’inégalité
∀´ > 0, P
|X − E(X)| ´
V (X)
´ 2 ·
Preuve
La variable
X − E(X)
2 est positive et possède une espérance égale à V(X). D’après l’inégalité de Markov, on a
pour tout ´ > 0
P
X − E(X)
2 ´
2
V(X)
´ 2 ·
Comme les événements
|X − E(X)| ´
et
(X − E(X))
2 ´
2
sont égaux, on en déduit
P
|X − E(X)| ´
V(X)
´ 2 ·
❑
1.2 Loi faible des grands nombres
Théorème 2 (Loi faible des grands nombres)
Soit (X n ) n∈N ∗ une suite de variables aléatoires réelles discrètes définies sur l’espace probabilisé (V, T , P). On suppose que ces variables admettent toutes la même espérance m et la
même variance s
2 , et sont deux à deux non corrélées. On pose
Y n =
X 1 + X 2 + · · · + X n
n
·
Alors, pour tout ´ > 0, on a
lim
n→+∞
P
|Y n − m| ´
= 0.
Preuve
Étant somme de variables deux à deux non-corrélées admettant une espérance et une variance,
Sn = Y1 + Y2 + · · · + Yn admet une espérance et une variance telles que
E(Sn) =
n
k=1
E(X k ) = nm et V(Sn) =
n
k=1
V(X k ) = ns
2 .
On en déduit
E(Yn) =
1
n
E(Sn) = m et V(Yn) =
1
n 2 V(Sn) =
1
n
s
2 .
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