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Convergences
et approximations
Dans ce chapitre, nous considérons des variables aléatoires X n définies sur un même
espace probabilisé (V, T , P), dépendant d’un entier naturel n et étudions le comportement de X n lorsque n tend vers l’infini.
Quand nous parlerons de variable aléatoire réelle, il s’agira soit de variable discrète,
soit de variable à densité.
1. Loi faible des grand nombres
1.1 L’inégalité de Bienaymé-Tchebychev
Lemme (Inégalité de Markov)
Toute variable aléatoire réelle positive X admettant une espérance, vérifie l’inégalité
∀a > 0, P
[X a]
E(X)
a
·
Preuve
• Si la variable X est discrète et X(V) = {x i , i ∈ I}, où I est une partie de N, on pose J = {i ∈ J, x i a}.
On a alors [X a] =
i∈J
[X = x i ] et
P
[X a]
=
i∈J
P
[X = x i ]
.
Comme X est positive, on a, pour tout i ∈ I, x i 0. On en déduit
E(X) =
i∈I
x i P
[X = x i ]
i∈J
x i P
[X = x i ]
j∈J
aP
[X = x i ]
aP
[X a]
.