Chapitre 11 – Couples de variables aléatoires admettant une densité
12.
Soit (X, Y ) un couple de variables aléatoires réelles de densité conjointe définie,
pour tout couple (x, y) de réels par
f (x, y) = k exp
−
1
2(1 − r 2 )
(x
2
− 2rxy + y
2 )
,
où r est un élément de ] − 1, 1[. On dira que (X, Y ) est un couple normal standard.
1. Déterminer k en fonction de r. On pourra pour cela remarquer l’identité
x
2
− 2rxy + y
2 = (x − ry)
2 + (1 − r
2 )y
2 .
2. a. Déterminer et reconnaître les lois marginales de X et de Y .
b. Calculer la covariance de X et Y . Montrer que X et Y sont indépendantes si, et seulement si, elles sont non corrélées.
3. Déterminer les lois conditionnelles du couple (X, Y ).
13.
1. Soit f la fonction définie par
f (x) =
⎧
⎨
⎩
1
x 2 si x 1
0
si x < 1.
Montrer que f est une densité de probabilité.
2. Soit X et Y deux variables aléatoires indépendantes de densité f . On pose U = XY et
V =
X
Y
. On note F la fonction de répartition conjointe de U et V .
a. Montrer que le couple (U, V ) est à valeurs dans
A = {(u, v) ∈ [1, +∞[×R
∗
+ , uv 1, u v} .
b. Soit (u, v) ∈ A. Montrer que F(u, v) =
D
f (x)f (y) dx dy,
D = {(x, y) ∈ R
2 , 1 x
√
uv,
x
v
y
u
x
, y 1}.
En déduire F(u, v). On distinguera les cas v 1 et v > 1.
c. On admet qu’une fonction g telle que g(u, v) =
∂
2 F
∂u∂v
(u, v) en tout point où F est de
classe C
2 est une densité de (U, V ). Montrer que,
g(u, v) =
⎧
⎨
⎩
1
2u 2 v
si (u, v) ∈ A
0
si (u, v) /
∈ A.
d. En déduire les lois marginales du couple (U, V ). Les variables U et V sont-elles indépendantes ?
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