EXERCICES
b. Soit (X, Y ) un couple aléatoire possédant comme densité la fonction g définie sur R
2
par g(x, y) =
⎧
⎨
⎩
1
p
si x
2 + y
2
1
0 sinon
. Montrer que Z =
Y
X
suit une loi C(1).
c. Soit X et Y deux variables aléatoires indépendantes, suivant chacune une loi normale
centrée réduite. Montrer que Z =
Y
X
suit une loi C(1).
2. a. Soit a > 0, l > 0 et X une variable qui suit la loi C(a). Déterminer la loi de la variable
lX.
b. Soit (x, t, b) ∈ R
3 et c = [x
2 + (b + 1)
2 ][x
2 + (b − 1)
2 ]. Vérifier que
c
[(t − x) 2 + 1][t 2 + b 2 ]
= x ·
2t
t 2 + b 2 −
2(t − x)
[(t − x) 2 + 1)
+
(x
2 + b
2
− 1)
(t − x) 2 + 1
+
x
2
− b
2 + 1
t 2 + b 2 ·
c. Soit X et Y deux variables aléatoires indépendantes, X suivant une loi C(a) et Y une loi
C(b). Montrer que S = X + Y suit une loi C(a + b). On commencera par supposer que
a = 1 et on utilisera ce qui précède.
11.
Pour a > 0, on pose G(a) =
+∞
0
e
−x x
a−1 dx. On appelle loi gamma de paramètre
(a, l) (a > 0, l > 0), notée G(a, l), la loi sur R de densité g a,l , où
g a,l (x) =
l
a
G(a)
e
−lx x
a−1 si x > 0 et g a,l (x) = 0 si x 0.
1. a. Vérifier que G(a) est défini pour tout a > 0 et que G(a + 1) = aG(a).
Montrer que g a,l est une densité de probabilité.
b. Soit X une variable aléatoire de loi G(a, l). Calculer E(X) et V (X).
2. a. Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes de lois respectives G(a, l) et
G(b, l) (a > 0, b > 0). Montrer que X + Y suit la loi G(a + b, l).
En déduire que
1
0
t
a−1 (1 − t)
b−1 dt =
G(a)G(b)
G(a + b)
·
b. Montrer qu’une loi exponentielle est une loi gamma.
Si X 1 , . . . , X n sont des variables aléatoires indépendantes suivant une loi exponentielle
de paramètre l, donner la loi de S = X 1 + · · · + X n .
3. a. Soit Y une variable qui suit la loi normale centrée réduite. Montrer que Y
2 suit la loi
G
1
2
,
1
2
. En déduire la valeur de G
1
2
.
b. Si Y 1 , . . . , Y n sont n variables indépendantes suivant la loi normale centrée réduite,
déterminer la loi de Z = Y
2
1 + · · · + Y
2
n (on dit que Z suit la loi du x
2 à n degrés de
liberté). Calculer l’espérance et la variance de Z.
391
b. Soit (X, Y ) un couple aléatoire possédant comme densité la fonction g définie sur R
2
par g(x, y) =
⎧
⎨
⎩
1
p
si x
2 + y
2
1
0 sinon
. Montrer que Z =
Y
X
suit une loi C(1).
c. Soit X et Y deux variables aléatoires indépendantes, suivant chacune une loi normale
centrée réduite. Montrer que Z =
Y
X
suit une loi C(1).
2. a. Soit a > 0, l > 0 et X une variable qui suit la loi C(a). Déterminer la loi de la variable
lX.
b. Soit (x, t, b) ∈ R
3 et c = [x
2 + (b + 1)
2 ][x
2 + (b − 1)
2 ]. Vérifier que
c
[(t − x) 2 + 1][t 2 + b 2 ]
= x ·
2t
t 2 + b 2 −
2(t − x)
[(t − x) 2 + 1)
+
(x
2 + b
2
− 1)
(t − x) 2 + 1
+
x
2
− b
2 + 1
t 2 + b 2 ·
c. Soit X et Y deux variables aléatoires indépendantes, X suivant une loi C(a) et Y une loi
C(b). Montrer que S = X + Y suit une loi C(a + b). On commencera par supposer que
a = 1 et on utilisera ce qui précède.
11.
Pour a > 0, on pose G(a) =
+∞
0
e
−x x
a−1 dx. On appelle loi gamma de paramètre
(a, l) (a > 0, l > 0), notée G(a, l), la loi sur R de densité g a,l , où
g a,l (x) =
l
a
G(a)
e
−lx x
a−1 si x > 0 et g a,l (x) = 0 si x 0.
1. a. Vérifier que G(a) est défini pour tout a > 0 et que G(a + 1) = aG(a).
Montrer que g a,l est une densité de probabilité.
b. Soit X une variable aléatoire de loi G(a, l). Calculer E(X) et V (X).
2. a. Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes de lois respectives G(a, l) et
G(b, l) (a > 0, b > 0). Montrer que X + Y suit la loi G(a + b, l).
En déduire que
1
0
t
a−1 (1 − t)
b−1 dt =
G(a)G(b)
G(a + b)
·
b. Montrer qu’une loi exponentielle est une loi gamma.
Si X 1 , . . . , X n sont des variables aléatoires indépendantes suivant une loi exponentielle
de paramètre l, donner la loi de S = X 1 + · · · + X n .
3. a. Soit Y une variable qui suit la loi normale centrée réduite. Montrer que Y
2 suit la loi
G
1
2
,
1
2
. En déduire la valeur de G
1
2
.
b. Si Y 1 , . . . , Y n sont n variables indépendantes suivant la loi normale centrée réduite,
déterminer la loi de Z = Y
2
1 + · · · + Y
2
n (on dit que Z suit la loi du x
2 à n degrés de
liberté). Calculer l’espérance et la variance de Z.
391