Chapitre 11 – Couples de variables aléatoires admettant une densité
1. On pose : U = sup(X, Y ) et V = inf(X, Y ). Définir des densités des variables aléatoires
U et V . Calculer l’espérance et la variance de U et V , la covariance et le coefficient de
corrélation de (U, V ).
2. On pose W = |X − Y |. Définir une densité de W .
3. Les variables W et Z sont-elles indépendantes ? Définir par sa densité le couple (W, Z).
4. Montrer que la probabilité de l’événement « C termine sa communication en dernier » est
P([W < Z]). Calculer cette probabilité.
5. Soit T le temps total passé par C dans le bureau de poste. Définir par sa densité la loi du
couple (V, Z). En déduire une densité de T.
6. Calculer l’espérance et la variance de T.
7.
On casse une baguette de bois de longueur en deux endroits choisis au hasard.
On note X et Y les variables aléatoires abscisses des points où l’on brise la baguette. On suppose
que X et Y suivent la loi uniforme sur [0, 1].
Calculer la probabilité qu’avec les trois morceaux, on puisse former un triangle.
Indication. On montrera que cela équivaut à
inf(X, Y ) <
2
, sup(X, Y ) >
2
et sup(X, Y ) − inf(X, Y ) <
2
·
8.
On prend un point M au hasard sur le cercle C de centre 0 et de rayon 1.
1. Soit X et Y les coordonnées de M dans un repère orthonormé de centre 0. Calculer
Cov(X, Y ) ; montrer que X et Y ne sont pas indépendantes.
2. Soit A le point de coordonnées (1, 0) et L la variable aléatoire égale à la longueur AM.
Déterminer la loi, l’espérance et la variance de L.
9.
Soit X et Y deux variables aléatoires de même loi exponentielle de paramètre l. On
pose U = X + Y et V =
X
X + Y
·
1. Déterminer les fonction de répartition de U et V .
2. Déterminer la fonction de répartition du couple (U, V ). Les variables U et V sont-elle
indépendantes ?
10.
Pour a > 0, on dit qu’une variable aléatoire suit une loi de Cauchy de paramètre a
si elle admet comme densité la fonction f a définie sur R par
f a (x) =
a
p(a 2 + x 2 )
·
On note C(a) une telle loi.
1. a. Justifier que f a est une densité de probabilité.
Soit X une variable aléatoire de loi C(a). Déterminer sa fonction de répartition. Possèdet-elle une espérance ?
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1. On pose : U = sup(X, Y ) et V = inf(X, Y ). Définir des densités des variables aléatoires
U et V . Calculer l’espérance et la variance de U et V , la covariance et le coefficient de
corrélation de (U, V ).
2. On pose W = |X − Y |. Définir une densité de W .
3. Les variables W et Z sont-elles indépendantes ? Définir par sa densité le couple (W, Z).
4. Montrer que la probabilité de l’événement « C termine sa communication en dernier » est
P([W < Z]). Calculer cette probabilité.
5. Soit T le temps total passé par C dans le bureau de poste. Définir par sa densité la loi du
couple (V, Z). En déduire une densité de T.
6. Calculer l’espérance et la variance de T.
7.
On casse une baguette de bois de longueur en deux endroits choisis au hasard.
On note X et Y les variables aléatoires abscisses des points où l’on brise la baguette. On suppose
que X et Y suivent la loi uniforme sur [0, 1].
Calculer la probabilité qu’avec les trois morceaux, on puisse former un triangle.
Indication. On montrera que cela équivaut à
inf(X, Y ) <
2
, sup(X, Y ) >
2
et sup(X, Y ) − inf(X, Y ) <
2
·
8.
On prend un point M au hasard sur le cercle C de centre 0 et de rayon 1.
1. Soit X et Y les coordonnées de M dans un repère orthonormé de centre 0. Calculer
Cov(X, Y ) ; montrer que X et Y ne sont pas indépendantes.
2. Soit A le point de coordonnées (1, 0) et L la variable aléatoire égale à la longueur AM.
Déterminer la loi, l’espérance et la variance de L.
9.
Soit X et Y deux variables aléatoires de même loi exponentielle de paramètre l. On
pose U = X + Y et V =
X
X + Y
·
1. Déterminer les fonction de répartition de U et V .
2. Déterminer la fonction de répartition du couple (U, V ). Les variables U et V sont-elle
indépendantes ?
10.
Pour a > 0, on dit qu’une variable aléatoire suit une loi de Cauchy de paramètre a
si elle admet comme densité la fonction f a définie sur R par
f a (x) =
a
p(a 2 + x 2 )
·
On note C(a) une telle loi.
1. a. Justifier que f a est une densité de probabilité.
Soit X une variable aléatoire de loi C(a). Déterminer sa fonction de répartition. Possèdet-elle une espérance ?
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