1.
Soit X, Y , Z trois variables aléatoires indépendantes, de même loi uniforme sur
[−1, 1]. Calculer une densité de X + Y ,
1
2
(X + Y ) et X + Y + Z.
2.
Soit a ∈ ]0, 1[ et (X, Y ) un couple de variables aléatoires de densité f définie par
f (x, y) =
((1 + ax)(1 + ay) − a) exp(−x − y − axy) si x 0 et y 0
0
sinon.
1. Vérifier que f est une densité de probabilité.
2. Déterminer les lois marginales du couple (X, Y ).
3. Les variables X et Y sont-elles indépendantes ?
3.
Soit (X, Y ) un couple de variables aléatoires de densité f définie par
f (x, y) =
⎧
⎨
⎩
k
x 2 y
si x 1 et
1
x
y x
0
sinon.
1. Déterminer k.
2. Déterminer les densités marginales et conditionnelles du couple (X, Y ).
4.
1. Les variables aléatoires A et B sont indépendantes et suivent une loi uniforme
sur [0, 1]. Quelle est la probabilité que l’équation x
2 + 2Ax + B = 0 ait
a. deux solutions réelles ;
b. deux solutions complexes non réelles ;
c. une seule solution ?
2. Mêmes questions si A et B suivent une loi exponentielle de paramètre 1.
On exprimera le résultat à l’aide de la fonction de répartition F de la loi normale centrée
réduite.
5.
Deux personnes A et B se donnent rendez-vous entre 15 et 16 heures. Chacun
d’eux a promis de ne pas attendre l’autre plus de 10 minutes. On suppose qu’ils arrivent
indépendamment à des instants uniformément distribués sur entre 15 heures et 16 heures.
1. Quelle est la probabilité qu’ils se rencontrent ?
2. À présent, A fixe son heure d’arrivée x. Quelle est la probabilité qu’il rencontre B ?
3. Arrivant à l’heure x, A ne trouve personne. Quelle est la probabilité qu’il rencontre B ?
6.
Trois personnes, notées A, B, C entrent simultanément à la poste pour téléphoner.
Il n’y a que deux cabines téléphoniques que A et B occupent immédiatement. C attend et
remplace le premier sorti. On suppose que les durées de communication de A, B, C sont
des variables aléatoires mutuellement indépendantes, suivant la même loi uniforme sur [0, 1],
notées respectivement X, Y et Z.
389
Soit X, Y , Z trois variables aléatoires indépendantes, de même loi uniforme sur
[−1, 1]. Calculer une densité de X + Y ,
1
2
(X + Y ) et X + Y + Z.
2.
Soit a ∈ ]0, 1[ et (X, Y ) un couple de variables aléatoires de densité f définie par
f (x, y) =
((1 + ax)(1 + ay) − a) exp(−x − y − axy) si x 0 et y 0
0
sinon.
1. Vérifier que f est une densité de probabilité.
2. Déterminer les lois marginales du couple (X, Y ).
3. Les variables X et Y sont-elles indépendantes ?
3.
Soit (X, Y ) un couple de variables aléatoires de densité f définie par
f (x, y) =
⎧
⎨
⎩
k
x 2 y
si x 1 et
1
x
y x
0
sinon.
1. Déterminer k.
2. Déterminer les densités marginales et conditionnelles du couple (X, Y ).
4.
1. Les variables aléatoires A et B sont indépendantes et suivent une loi uniforme
sur [0, 1]. Quelle est la probabilité que l’équation x
2 + 2Ax + B = 0 ait
a. deux solutions réelles ;
b. deux solutions complexes non réelles ;
c. une seule solution ?
2. Mêmes questions si A et B suivent une loi exponentielle de paramètre 1.
On exprimera le résultat à l’aide de la fonction de répartition F de la loi normale centrée
réduite.
5.
Deux personnes A et B se donnent rendez-vous entre 15 et 16 heures. Chacun
d’eux a promis de ne pas attendre l’autre plus de 10 minutes. On suppose qu’ils arrivent
indépendamment à des instants uniformément distribués sur entre 15 heures et 16 heures.
1. Quelle est la probabilité qu’ils se rencontrent ?
2. À présent, A fixe son heure d’arrivée x. Quelle est la probabilité qu’il rencontre B ?
3. Arrivant à l’heure x, A ne trouve personne. Quelle est la probabilité qu’il rencontre B ?
6.
Trois personnes, notées A, B, C entrent simultanément à la poste pour téléphoner.
Il n’y a que deux cabines téléphoniques que A et B occupent immédiatement. C attend et
remplace le premier sorti. On suppose que les durées de communication de A, B, C sont
des variables aléatoires mutuellement indépendantes, suivant la même loi uniforme sur [0, 1],
notées respectivement X, Y et Z.
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