© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
Covariance - Coefficient de corrélation
3.3 Coefficient de corrélation linéaire
Définition 7
Soit (X, Y ) un couple de variables aléatoires à densité. Si le couple (X, Y ) possède une
covariance, on appelle coefficient de corrélation linéaire de (X, Y ) le réel r X,Y défini par
r X,Y =
Cov(X, Y )
s X s Y
·
➤ Remarque
Cette définition est justifiée car l’écart-type d’une variable à densité est strictement positif.
Reprenons les exemples de la page 384.
Exemples
1. Dans le premier cas on a r X,Y = 0 car Cov(X, Y ) = 0.
2. Dans le second cas, on a trouvé Cov(X, Y ) =
1
4
· Les variables X et Y suivent des lois
normales de paramètre
0,
3
4
et
0,
1
4
respectivement. On a donc s X =
√
3
2
et
s Y =
1
2
· On en déduit r X,Y =
1
√
3
·
Théorème 13
Pour tout couple (X, Y ) de variables aléatoires réelles discrètes admettant un coefficient
de corrélation linéaire, on dispose des inégalités
−1 r (X, Y ) 1.
Preuve Cela résulte directement de la dernière affirmation du théorème 11.
❑
3.4 Cas des variables indépendantes
Théorème 14
Soit X et Y deux variables aléatoires à densité sur le même espace probabilisé (V, T , P),
admettant un moment d’ordre deux. Si X et Y sont indépendantes, on a
• E(XY ) = E(X)E(Y ) ;
• Cov(X, Y ) = 0 ;
• V (X + Y ) = V (X) + V (Y ).
387