Chapitre 11 – Couples de variables aléatoires admettant une densité
grâce au changement de variable u = y
√
2. En intégrant par parties, on obtient
Cov(X, Y ) =
1
2
√
p
−
1
2
ue
−u
2
+∞
−∞
+
1
4
√
p
+∞
−∞
e
−u
2
du = 0 +
1
4
√
p
√
p =
1
4
·
Les propriétés de la covariance sont les mêmes que dans le cas discret. Nous pouvons
donc reprendre le contenu des théorèmes 11 et 12 du chapitre 9.
Théorème 11
Si X, X
, Y et Y
sont des variables aléatoires à densité admettant des moments d’ordre 2
et l un réel, on a :
• Cov(X, X) = V (X) ;
• Cov(X, Y ) = Cov(Y, X) ;
• Cov(X + X
, Y) = Cov(X, Y ) + Cov(X
, Y) Cov(lX, Y ) = lCov(X, Y ) ;
• Cov(X, Y + Y
) = Cov(X, Y ) + Cov(X, Y
) Cov(X, lY ) = lCov(X, Y ).
Autrement dit, les applications X −→ Cov(X, Y ) et Y −→ Cov(X, Y ) sont linéaires.
On a, de plus, |Cov(X, Y )| s(X)s(Y ).
Théorème 12
• Pour tout couple (X, Y ) de variables aléatoires réelles à densité admettant un moment
d’ordre deux, la variable aléatoire réelle X + Y admet une variance égale à
V (X + Y ) = V (X) + V (Y ) + 2 Cov(X, Y ).
• Plus généralement, pour toute famille finie (X 1 , . . . , X n ) de n variables aléatoires réelles
à densité admettant un moment d’ordre 2, la variable aléatoire réelle X 1 + X 2 + · · · + X n
admet une variance
V (X + · · · + X n ) =
n
k=1
V (X k ) + 2
1i Cov(X i , X j ).
Preuve Les démonstrations sont les mêmes que dans le cas discret. En effet, celles-ci reposent uniquement sur la linéarité de l’espérance et pour la dernière affirmation du théorème 11 sur le fait que l’application
l −→ V(lX + Y) est une fonction trinôme qui garde toujours un signe positif et donc a un discriminant négatif. ❑
➤ Remarque
Nous ne sommes pas assurés pourtant que la somme X + X de deux variables aléatoires à densité est une variable
à densité. Les calculs effectués dans les théorèmes précédents ont encore un sens à condition de se placer dans le
cadre général des variables aléatoires réelles, tracé dans la première partie du chapitre 8.
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