© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
Covariance - Coefficient de corrélation
de tout ordre et en particulier un moment d’ordre 2. On en déduit que (X, Y ) possède
une covariance. La fonction f X est paire, donc E(X) = E(Y ) = 0 et
Cov(X, Y ) = E(XY ) =
R 2
xyf (x, y) dx dy =
D
1
p
xydx dy
=
1
−1
√
1−y 2
−
√
1−y 2
xy dx
dy = 0,
car pour tout y ∈ [−1, 1], la fonction x −→ xy est impaire donc son intégrale sur
[−
1 − y 2 ,
1 − y 2 ] est nulle.
2. Soit (X, Y ) un couple de variables aléatoires dont une densité est définie par
f (x, y) =
√
2
p
exp(−x
2 + 2xy − 3y
2 ).
Nous avons vu que X suit la loi normale de paramètre
0,
3
4
et que Y suit la loi normale
de paramètre
0,
1
4
. Ces deux variables ont un moment d’ordre 2, donc (X, Y ) possède
une covariance. On a E(X) = E(Y ) = 0 et
Cov(X, Y ) = E(XY ) =
R 2
xyf (x, y) dx dy =
√
2
p
R 2
xy exp(−x
2 + 2xy − 3y
2 ) dx dy
=
√
2
p
+∞
−∞
+∞
−∞
xy exp(−x
2 + 2xy − 3y
2 ) dx
dy
=
√
2
p
+∞
−∞
+∞
−∞
xy exp(−(x − y)
2
− 2y
2 ) dx
dy
=
√
2
p
+∞
−∞
ye
−2y
2
+∞
−∞
x exp(−(x − y)
2 ) dx
dy.
Avec le changement de variable t = x − y, on obtient
+∞
−∞
x exp(−(x − y)
2 ) dx =
+∞
−∞
(t + y) exp(−t
2 ) dt
=
+∞
−∞
t exp(−t
2 ) dx + y
+∞
−∞
exp(−t
2 ) dx.
La première intégrale est nulle, car la fonction t −→ t exp(−t
2 ) est impaire. La seconde est
l’intégrale de Gauss et vaut
√
p. On en déduit
Cov(X, Y ) =
√
2
p
+∞
−∞
ye
−2y
2
y
√
p
dy
=
2
p
+∞
−∞
y
2 e
−2y
2
dy =
1
2
√
p
+∞
−∞
u
2 e
−u
2
du,
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