Chapitre 11 – Couples de variables aléatoires admettant une densité
3.2 Covariance
Nous admettrons le résultat suivant.
Théorème 9
Soit (X, Y ) un couple de variables aléatoires possédant une densité f . Si les variables X et
Y possèdent un moment d’ordre 2, alors la variable XY possède une espérance donnée
par
E(XY ) =
R 2
xyf (x, y) dx dy.
➤ Remarque
La formule donnant l’espérance de XY résulte du théorème 8 appliqué à la fonction g : (x, y) −→ xy.
Définition 6
Soit X et Y deux variables aléatoires à densité admettant une espérance. Si la variable
X − E(X)
Y − E(Y )
admet une espérance, on appelle covariance du couple (X, Y )
le réel noté Cov(X, Y ) défini par
Cov(X, Y ) = E
X − E(X)
Y − E(Y )
.
Théorème 10 (Formule de Koenig-Huyghens)
Soit (X, Y ) un couple de variables aléatoires possédant une densité f . Si les variables X et
Y possèdent un moment d’ordre 2, alors le couple (X, Y ) admet une covariance donnée
par la formule
Cov(X, Y ) = E(XY ) − E(X)E(Y ).
Preuve Les variables X et Y possèdent un moment d’ordre 2, donc elles possèdent une espérance. D’après le
théorème 9, XY possède une espérance. Par linéarité de l’espérance,
X − E(X)
Y − E(Y)
= XY − XE(Y) − YE(X) + E(X)E(Y)
admet une espérance. Donc le couple (X, Y) possède une covariance et
Cov(X, Y) = E
X − E(X)
Y − E(Y)
= E(XY) − E(Y)E(X) − E(X)E(Y) + E(X)E(Y)
= E(XY) − E(Y)E(X).
❑
Reprenons les exemples 2 et 4 de la page 362.
Exemples
1. Si (X, Y ) suit la loi uniforme sur le disque de centre (0, 0) et de rayon 1, on a vu que X et
Y suivent la même loi, de densité définie par f X (x) =
⎧
⎨
⎩
2
p
√
1 − x 2 si |x| 1
0
s i|x| > 1.
Comme
la fonction f X est continue sur [−1, 1] et nulle en dehors, X (et Y ) possède des moments
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