Chapitre 11 – Couples de variables aléatoires admettant une densité
On obtient en dérivant par rapport à v, puis par rapport à u, g(u, v) = 0 si u < 0 ou v < 0
et de même g(u, v) = 0 si u > 0, v > 0 et u > v car alors F(u, v) ne dépend que de v, donc
on trouve 0 quand on dérive par rapport à v.
Enfin, si u > 0, v > 0 et u < v, on obtient
∂F
∂v
(u, v) = (v + 1)e
−v
− (u + v + 1)e
−u−v
puis
g(u, v) =
∂
2 F
∂u∂v
(u, v) = (u + v)e
−u−v .
Sur B ensemble d’aire nulle on peut fixer g arbitrairement, ce qui conduit à l’expression
de g donnée dans l’énoncé.
3. On sait qu’on alors, pour tout u ∈ R, f U (u) =
+∞
−∞
g(u, v) dv. On obtient f U (u) = 0 si
u < 0 et si u 0,
f U (u) =
+∞
u
(u + v)e
−u−v dv = e
−u
−(u + v + 1)e
−v
+∞
u
= e
−2u (2u + 1),
car lim
v→+∞
(u + v + 1)e
−v = 0.
On a de même f V (v) = 0 si v < 0 et si v 0,
f V (v) =
v
0
(u + v)e
−u−v du = e
−v
−(u + v + 1)e
−u
v
0
= e
−v (−(2v + 1)e
−v + (v + 1))
= −(2v + 1)e
−2v + (v + 1)e
−v .
3. Covariance - Coefficient de corrélation
3.1 Espérance d’une variable aléatoire fonction d’un couple de variables
aléatoires à densité
Nous admettrons le théorème suivant (qui est pour les variables à densité l’équivalent
du théorème 9 du chapitre 9).
Théorème 8
Soit (X, Y ) un couple de variables aléatoires possédant une densité f et g une application
définie sur un ensemble D contenant (X, Y )(V). La variable aléatoire g(X, Y ) admet une
espérance si et seulement si l’intégrale
R 2
g(x, y)f (x, y) dx dy converge. Cette espérance
est alors donnée par
E(g(X, Y )) =
R 2
g(x, y)f (x, y) dx dy.
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