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Variables aléatoires fonctions d’un couple de variables à densité
Solution. La fonction f est bien une densité : elle est positive et continue sauf
sur R + × {0} ∪ {0} × R + , ensemble d’aire nulle et on vérifie facilement que
R 2
f (x, y) dx dy = 1. En effet cette intégrale est égale à
+∞
0
xe
−x dx
+∞
0
e
−y dy et
+∞
0
xe
−x dx =
+∞
0
e
−y dy = 1,
car les fonctions x −→ xe
−x et y −→ e
−y ont pour primitive x −→ −(x+1)e
−x et y −→ −e
−y ,
fonctions qui toutes deux ont pour limite 0 en +∞ et −1 en 0.
1. Les variables X et Y sont à valeurs dans R + . En effet, si x < 0, on a, pour tout réel y,
f (x, y) = 0 et donc
F X (x) =
+∞
−∞
f (x, y) dy = 0,
donc X possède une densité nulle sur R
∗
− . Il en est de même pour Y .
On en déduit que U et V sont positives. D’autre part, il est clair que U V , donc (U, V )
est à valeurs dans A.
2. Si u < 0 ou v < 0, on a F(u, v) = P([U u] ∩ [V v]) = 0.
Soit (u, v) ∈ (R + )
2 . Si v < u, on a, puisque U V ,
[U u] ∩ [V v] = [V v] = [X v] ∩ [Y v]
et
F(u, v) =
v
0
xe
−x dx
v
0
e
−y dy =
−(x + 1)e
−x
v
0
−e
−y
v
0
= (1 − (v + 1)e
−v )(1 − e
−v ).
Si enfin (u, v) ∈ A, on écrit
[U u] ∩ [V v] = [V v] \ [U > u] ∩ [V v]
et on remarque que
[V v] ∩ [U > u] = [u < X v] ∩ [u < Y v].
On en déduit
F(u, v) = P([V v]) − P([u < X v] ∩ [u < Y v]).
Le premier terme a été calculé précédemment. Le second vaut
v
u
xe
−x dx
v
u
e
−y dy =
−(x + 1)e
−v
v
u
−e
−y
v
u
= ((u + 1)e
−u
− (v + 1)e
−v )(e
−u
− e
−v ).
On a finalement
F(u, v) = (1 − (v + 1)e
−v )(1 − e
−v ) − ((u + 1)e
−u
− (v + 1)e
−v )(e
−u
− e
−v )
= 1 − (v + 2)e
−v
− (u + 1)e
−2u + (u + v + 2)e
−u−v .
On remarque que la fonction F est de classe C
2 sur R
2 privé de
B = {(u, v) ∈ (R + )
2 , u = 0 ou v = 0 ou u = v},
réunion de trois demi-droites donc d’aire nulle.
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