Chapitre 11 – Couples de variables aléatoires admettant une densité
On en déduit
F Q (u) =
1
2p
Iu×R+
e
−
r 2
2 r dr da =
1
2p
Iu
da
+∞
0
e
−
r 2
2 r dr
=
1
2p
· 2
u +
p
2
−e
−
r 2
2
+∞
0
=
1
p
u +
p
2
.
La variable Q suit la loi uniforme sur
−
p
2
,
p
2
.
3. Soit F la fonction de répartition du couple (R, Q).
Si r < 0 ou u −
p
2
, on a F(r, u) = P([R r] ∩ [Q u]) = 0.
Si r 0 et u
p
2
, on a F(r, u) = P([R r] ∩ [Q u]) = P([R r]) = F R (r).
Enfin si r 0 et u ∈
−
p
2
,
p
2
, on a
F(r, u) =
Cr,u
f (x, y) dx dy, où C r,u = {(x, y) ∈ R
2 , x
2 + y
2
r
2 et Arctan
y
x
u}.
En utilisant les résultats et les notations précédents, on voit que C (r,u) est défini en coordonnées polaires par r ∈ [0, r] et a ∈ I u . On obtient
F(r, u) =
1
2p
[0,r]×Iu
e
−
r 2
2 r dr da =
1
2p
Iu
da
r
0
e
−
r 2
2 r dr
=
1
2p
· 2
u +
p
2
−e
−
r 2
2
r
0
=
1
p
u +
p
2
1 − e
−
r 2
2 = F R (r)F Q (u).
Dans tous les cas, on a F(r, u) = F R (r)F Q (u), donc les variables aléatoires R et Q sont
indépendantes.
On peut aussi à partir de la fonction de répartition conjointe, déterminer la densité
conjointe du couple obtenu.
Exercice 4.
Un couple de variables aléatoires (X, Y ) admet une densité conjointe f telle que
f (x, y) =
xe
−x−y
si x 0 et y 0
0
sinon.
On pose U = min(X, Y ) et V = max(X, Y )
1. Montrer que (U, V ) est à valeurs dans A = {(u, v) ∈ (R + )
2 , u v}.
2. Déterminer la fonction de répartition conjointe F de U et V . En déduire que (U, V )
admet une densité g telle que
g(u, v) =
(u + v)e
u+v
si (u, v) ∈ A
0
s i( u, v) /
∈ A.
On admettra que g s’obtient en dérivant F par rapport à u et à v.
3. En déduire des densités de U et V .
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