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Variables aléatoires fonctions d’un couple de variables à densité
Exercice 3.
Soit X et Y deux variables indépendantes, toutes deux de loi normale centrée réduite. On
pose R =
√
X 2 + Y 2 et Q = Arctan
Y
X
·
1. Déterminer la fonction de répartition de R.
2. Déterminer la fonction de répartition de Q.
3. Les variables R et Q sont-elles indépendantes ?
On utilisera les coordonnées polaires.
Solution. Puisque les variables X et Y sont indépendantes, une densité du couple (X, Y ) est
donnée par f (x, y) =
1
2p
e
−
x 2 +y 2
2
(produit d’une densité de X par une densité de Y ).
1. La variable R est à valeurs dans R + donc si r < 0 on a F R (r) = 0.
Si r 0, on obtient F R (r) =
Dr
f (x, y) dx dy, où D r = {(x, y) ∈ R
2 , x
2 + y
2
r
2
}. On
passe en coordonnées polaires. On les note (r, a) avec r 0 et a ∈
−
p
2
,
3p
2
(on fait
ce choix en liaison avec la fonction Arctan). On obtient f (x, y) =
1
2p
e
−
r 2
2 et D r est défini
par r r et a quelconque. On en déduit
F R (r) =
1
2p
[−
p
2 ,
3p
2 ]×[0,r]
e
−
r 2
2 r dr da =
1
2p
3
p
2
−
p
2
da
r
0
e
−
r 2
2 r dr
=
1
2p
2p
−e
−
r 2
2
r
0
= 1 − e
−
r 2
2 .
2. L’événement [X = 0] est de probabilité nulle donc Q est définie presque sûrement. La
variable Q est à valeurs dans
−
p
2
,
p
2
. On a donc F Q (u) = 0 si u −
p
2
et F Q (u) = 1
si u
p
2
.
Soit u ∈
−
p
2
,
p
2
. On obtient
F Q (u) =
Du
f (x, y) dx dy, où D u = {(x, y) ∈ R
2 , Arctan
y
x
u}.
De nouveau, on passe en coordonnées polaires. On trouve Arctan
y
x
= Arctan tan a. Si
a ∈
−
p
2
,
p
2
, on a Arctan tan a = a et il faut a u, c’est-à-dire a ∈
−
p
2
, u
.
Si a ∈
p
2
,
3p
2
, on a Arctan tan a = a − p et il faut a − p u, c’est-à-dire
a ∈
p
2
, p + u
. Finalement, D u est défini en coordonnées polaires par
a ∈ I u =
−
p
2
, u
∪
p
2
, p + u
et r quelconque.
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