Chapitre 11 – Couples de variables aléatoires admettant une densité
On trouve A(D t ) =
1
2
a · (at) et
P([T t] ∩ [Y X]) =
t
2
·
On trouve de même P([T t] ∩ [Y X]) =
A(D
t )
a 2 , où D
t = {(x, y) ∈ [0, a]
2 , x ty}
est de même aire que D t .
a
D
t
Comme P([X = Y ]) = 0, on obtient
F T (t) = P([T t]) = P([T t] ∩ [Y X]) + P([T t] ∩ [X Y ]) = t
et T suit la loi uniforme sur [0, 1].
3. Soit (X, Y ) un couple de variables aléatoires suivant la loi uniforme sur le disque de centre
(0, 0) et de rayon 1. Une densité du couple est définie par f (x, y) =
⎧
⎨
⎩
1
p
si x
2 + y
2
1
0 sinon.
Déterminer la loi de Z =
√
X 2 + Y 2 .
La variable Z est à valeur dans [0, 1], donc F Z (z) = 0 si z < 0 et F Z (z) = 1 si z > 1. Soit
z ∈ [0, 1]. On a
F Z (z) = P([Z z]) = P([X
2 + Y
2
z
2 ]) =
Dz
1
p
dx dy,
où D z = {(x, y) ∈ R
2 , x
2 + y
2
z
2
} est le disque de centre (0, 0) et de rayon z. On
obtient
F Z (z) =
A(D z )
p
=
pz
2
p
= z
2 .
La fonction F Z est continue et de classe C
1 sur R \ {0, 1}. Elle possède une densité définie
par
f Z (z) =
2z si z ∈ [0, 1]
0
sinon.
On peut noter que Z
2 suit la loi uniforme sur [0, 1]. En effet Z
2 est à valeurs dans [0, 1],
et pour t ∈ [0, 1],
P([Z
2
t]) = P([Z
√
t]) = t.
On peut utiliser la même méthode pour déterminer la loi d’un couple de variables
aléatoires, toutes deux fonctions de X et Y .
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