© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
Variables aléatoires fonctions d’un couple de variables à densité
Pour tout z ∈ R, on pose D z = {(x, y) ∈ R
2 , x + y z} = {(x, y) ∈ R
2 , x z − y}.
On a alors
P([Z z]) = P([(X, Y ) ∈ D z ]) =
Dz
f (x, y) dx dy
=
+∞
−∞
z−y
−∞
√
2
p
exp(−x
2
− 2xy − 3y
2 ) dx
dy
=
√
2
p
+∞
−∞
z−y
−∞
exp(−(x + y)
2
− 2y
2 ) dx
dy.
En faisant le changement de variable t = x + y, on obtient
z−y
−∞
exp(−(x + y)
2
− 2y
2 ) dx = e
−2y
2
z
−∞
e
−t
2
dt
puis
P([Z z]) =
√
2
p
+∞
−∞
e
−2y
2
dy
z
−∞
e
−t
2
dt =
1
p
z
−∞
e
−t
2
dt,
car
+∞
−∞
e
−2y
2
dy =
1
√
2
+∞
−∞
e
−u
2
du =
p
2
· On en déduit que Z suit la loi normale
de paramètre
0,
1
2
.
2. Soit a > 0, X et Y deux variables indépendantes, suivant une loi uniforme sur [0, a]. On
pose U = inf(X, Y ) et V = sup(X, Y ). Déterminer la loi de T =
U
V
·
On a P([V = 0]) = 0 donc il y a un sens à parler de
U
V
· Le couple (X, Y ) suit la loi
uniforme sur [0, a]
2 . Sa densité f vaut donc
1
a 2 sur [0, a]
2 et 0 ailleurs.
La variable aléatoire T est à valeur dans [0, 1] (car 0 U V ), donc F T (t) = 0 si t < 0
et F T (t) = 1 si t > 1. Soit t ∈ [0, 1]. On a
P([T t] ∩ [Y X]) = P
Y
X
t
= P([Y tX]),
car
Y
X
t
⊂ [Y X]. On en déduit que
P([T t] ∩ [Y X]) = P([(X, Y ) ∈ D t ]) =
A(D t )
a 2 ,
où D t = {(x, y) ∈ [0, a]
2 , y tx} est l’intérieur d’un triangle.
a
D t
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