Chapitre 11 – Couples de variables aléatoires admettant une densité
En notant g n la fonction z −→ f n (z)e
−z , on voit que g n est l’opposé de la primitive qui
s’annule en 0 de g n−1 . Comme Z 1 = ln X 1 , on a f 1 (z) = e
z et donc g 1 (z) = 1 pour tout
z 0. On en déduit que g 2 (z) = −z, g 3 (z) =
z
2
2
et par une récurrence immédiate
g n (z) =
(−1)
n−1 z
n−1
(n − 1)!
pour n ∈ N
∗ et z 0. En effet, si c’est vrai au rang n − 1, on a
pour z 0,
g n (z) = −
z
0
g n−1 (x) dx = −
z
0
(−1)
n−2 x
n−2
(n − 2)!
=
(−1)
n−1 z
n−1
(n − 1)!
·
On en déduit que, pour tout z 0,
f n (z) = e
z g n (z) =
(−1)
n−1 z
n−1 e
z
(n − 1)!
=
(−z)
n−1 e
z
(n − 1)!
·
3. La variable Y n = exp(Z n ) est encore une variable à densité (cf exemple 1 page 324, chapitre
Variables à densité). Notons h n une densité de Y n . La variable Z n est à valeurs dans R −
donc Y n est à valeurs dans ]0, 1]. On a donc F Yn (y) = 0 si y 0 et F Yn (y) = 1 si x > 1.
Enfin si y ∈ ]0, 1], on obtient
F Yn (y) = P([Y n y]) = P([Z n ln y]) =
ln y
−∞
f n (z) dz.
On obtient h n en dérivant la fonction de répartition. On a donc h n (y) = 0 si y 0 ou
y > 1 et pour y ∈ ]0, 1],
h n (y) =
1
y
f n (ln y) =
1
y
·
(− ln y)
n−1 y
(n − 1)!
=
(− ln y)
n−1
(n − 1)!
·
2.2 Cas général
Soit (X, Y ) un couple de variables aléatoires possédant une densité f . Si Z = g(X, Y )
et si on n’est pas dans le cas de la somme de deux variables aléatoires indépendantes, on
peut chercher la fonction de répartition de Z en essayant de trouver pour tout z ∈ R,
un ensemble élémentaire D z tel que [Z z] = [g(X, Y ) z] = [(X, Y ) ∈ D z ]. Ceci
permettra de calculer F Z (z) = P([Z z]) pour tout z ∈ R à l’aide de f . Si F Z est de
classe C
1 sauf en un nombre fini de points, on en déduira une densité de Z.
Exemples
1. Reprenons pour commencer le couple (X, Y ) dont une densité est définie par
f (x, y) =
√
2
p
exp(−x
2
− 2xy − 3y
2 )
et déterminons la loi de Z = X + Y . On ne peut pas utiliser le produit de convolution,
car on a démontré que les variables X et Y ne sont pas indépendantes.
376
En notant g n la fonction z −→ f n (z)e
−z , on voit que g n est l’opposé de la primitive qui
s’annule en 0 de g n−1 . Comme Z 1 = ln X 1 , on a f 1 (z) = e
z et donc g 1 (z) = 1 pour tout
z 0. On en déduit que g 2 (z) = −z, g 3 (z) =
z
2
2
et par une récurrence immédiate
g n (z) =
(−1)
n−1 z
n−1
(n − 1)!
pour n ∈ N
∗ et z 0. En effet, si c’est vrai au rang n − 1, on a
pour z 0,
g n (z) = −
z
0
g n−1 (x) dx = −
z
0
(−1)
n−2 x
n−2
(n − 2)!
=
(−1)
n−1 z
n−1
(n − 1)!
·
On en déduit que, pour tout z 0,
f n (z) = e
z g n (z) =
(−1)
n−1 z
n−1 e
z
(n − 1)!
=
(−z)
n−1 e
z
(n − 1)!
·
3. La variable Y n = exp(Z n ) est encore une variable à densité (cf exemple 1 page 324, chapitre
Variables à densité). Notons h n une densité de Y n . La variable Z n est à valeurs dans R −
donc Y n est à valeurs dans ]0, 1]. On a donc F Yn (y) = 0 si y 0 et F Yn (y) = 1 si x > 1.
Enfin si y ∈ ]0, 1], on obtient
F Yn (y) = P([Y n y]) = P([Z n ln y]) =
ln y
−∞
f n (z) dz.
On obtient h n en dérivant la fonction de répartition. On a donc h n (y) = 0 si y 0 ou
y > 1 et pour y ∈ ]0, 1],
h n (y) =
1
y
f n (ln y) =
1
y
·
(− ln y)
n−1 y
(n − 1)!
=
(− ln y)
n−1
(n − 1)!
·
2.2 Cas général
Soit (X, Y ) un couple de variables aléatoires possédant une densité f . Si Z = g(X, Y )
et si on n’est pas dans le cas de la somme de deux variables aléatoires indépendantes, on
peut chercher la fonction de répartition de Z en essayant de trouver pour tout z ∈ R,
un ensemble élémentaire D z tel que [Z z] = [g(X, Y ) z] = [(X, Y ) ∈ D z ]. Ceci
permettra de calculer F Z (z) = P([Z z]) pour tout z ∈ R à l’aide de f . Si F Z est de
classe C
1 sauf en un nombre fini de points, on en déduira une densité de Z.
Exemples
1. Reprenons pour commencer le couple (X, Y ) dont une densité est définie par
f (x, y) =
√
2
p
exp(−x
2
− 2xy − 3y
2 )
et déterminons la loi de Z = X + Y . On ne peut pas utiliser le produit de convolution,
car on a démontré que les variables X et Y ne sont pas indépendantes.
376