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Variables aléatoires fonctions d’un couple de variables à densité
Exercice 2.
Soit (X n ) une suite de variables indépendantes, suivant toutes la loi uniforme sur [0, 1]. On
souhaite déterminer, pour tout n ∈ N
∗ , la loi de Y n = X 1 X 2 , . . . , X n . On pose Z n = ln Y n .
1. Déterminer une densité de Z 1 = ln X 1 .
2. Soit f n une densité de Z n .
a. Démontrer que f n est nulle sur R
∗
+ et que, pour n 2 et z 0, on a
f n (z) =
0
z
f n−1 (x)e
z−x dx.
b. En déduire f n (z) pour z 0 (on remarquera que z −→ −e
−z f n (z) est une primitive
z −→ e
−z f n−1 (z).
3. Déterminer une densité de Y n .
Solution.
1. On a P([X 1 > 0]) = 1 − P([X 1 = 0]) = 1, puisque X 1 est une variable à densité. Ainsi Z 1
est définie presque sûrement. La variable X 1 étant à valeurs dans [0, 1], la variable Z 1 est
négative. On obtient donc F Z1 (z) = 1 − P([Z 1 > z]) = 1 si z > 0 et pour z 0,
F Z1 (z) = P([ln X 1 z]) = P([X 1 e
z ]) = e
z
car e
z
∈ [0, 1]. La fonction F Z1 est continue sur R (il suffit de le vérifier en 0) et de classe
C
1 sur R
∗ donc Z 1 possède une densité f qui s’obtient en dérivant F Z1 . On obtient
f (z) =
e
z
si z 0
0
si z > 0.
2. a. On note que Z n = ln X 1 + ln X 2 + · · · + ln X n . Pour tout k, la variable ln X k suit la
même loi que ln X 1 . On en déduit que ln X k est à valeurs dans R − . La variable aléatoire
Z n est négative, car c’est une somme de variables aléatoires négatives. Les variables X k
étant indépendantes, il en est de même des ln X k . On en déduit que Z n est une variable
à densité (cf la remarque qui suit le corollaire 1). D’après ce qui précède, une densité
f n de Z n est nulle sur R
∗
+ .
Pour n 2, on a Z n = Z n−1 + ln X n . Les variables aléatoires Z n−1 et ln X n sont
indépendantes, d’après le lemme des coalitions, donc f n est obtenu par un produit de
convolution de f n−1 et f . On obtient, pour z 0, f n (z) =
+∞
−∞
f n−1 (x)f (z − x) dx.
Comme f n−1 (x) = 0 si x > 0 et f (z − x) = 0 si z − x > 0, i.e. x < z, on obtient
f n (z) =
0
z
f n−1 (x)f (z − x) dx =
0
z
f n−1 (x)e
z−x dx.
b. On peut écrire, pour tout z 0,
f n (z)e
−z =
0
z
e
−z f n−1 (x)e
z−x dx =
0
z
f n−1 (x)e
−x dx = −
z
0
f n−1 (x)e
−x dx.
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Variables aléatoires fonctions d’un couple de variables à densité
Exercice 2.
Soit (X n ) une suite de variables indépendantes, suivant toutes la loi uniforme sur [0, 1]. On
souhaite déterminer, pour tout n ∈ N
∗ , la loi de Y n = X 1 X 2 , . . . , X n . On pose Z n = ln Y n .
1. Déterminer une densité de Z 1 = ln X 1 .
2. Soit f n une densité de Z n .
a. Démontrer que f n est nulle sur R
∗
+ et que, pour n 2 et z 0, on a
f n (z) =
0
z
f n−1 (x)e
z−x dx.
b. En déduire f n (z) pour z 0 (on remarquera que z −→ −e
−z f n (z) est une primitive
z −→ e
−z f n−1 (z).
3. Déterminer une densité de Y n .
Solution.
1. On a P([X 1 > 0]) = 1 − P([X 1 = 0]) = 1, puisque X 1 est une variable à densité. Ainsi Z 1
est définie presque sûrement. La variable X 1 étant à valeurs dans [0, 1], la variable Z 1 est
négative. On obtient donc F Z1 (z) = 1 − P([Z 1 > z]) = 1 si z > 0 et pour z 0,
F Z1 (z) = P([ln X 1 z]) = P([X 1 e
z ]) = e
z
car e
z
∈ [0, 1]. La fonction F Z1 est continue sur R (il suffit de le vérifier en 0) et de classe
C
1 sur R
∗ donc Z 1 possède une densité f qui s’obtient en dérivant F Z1 . On obtient
f (z) =
e
z
si z 0
0
si z > 0.
2. a. On note que Z n = ln X 1 + ln X 2 + · · · + ln X n . Pour tout k, la variable ln X k suit la
même loi que ln X 1 . On en déduit que ln X k est à valeurs dans R − . La variable aléatoire
Z n est négative, car c’est une somme de variables aléatoires négatives. Les variables X k
étant indépendantes, il en est de même des ln X k . On en déduit que Z n est une variable
à densité (cf la remarque qui suit le corollaire 1). D’après ce qui précède, une densité
f n de Z n est nulle sur R
∗
+ .
Pour n 2, on a Z n = Z n−1 + ln X n . Les variables aléatoires Z n−1 et ln X n sont
indépendantes, d’après le lemme des coalitions, donc f n est obtenu par un produit de
convolution de f n−1 et f . On obtient, pour z 0, f n (z) =
+∞
−∞
f n−1 (x)f (z − x) dx.
Comme f n−1 (x) = 0 si x > 0 et f (z − x) = 0 si z − x > 0, i.e. x < z, on obtient
f n (z) =
0
z
f n−1 (x)f (z − x) dx =
0
z
f n−1 (x)e
z−x dx.
b. On peut écrire, pour tout z 0,
f n (z)e
−z =
0
z
e
−z f n−1 (x)e
z−x dx =
0
z
f n−1 (x)e
−x dx = −
z
0
f n−1 (x)e
−x dx.
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