Chapitre 11 – Couples de variables aléatoires admettant une densité
Exercice 1.
Soit X et Y deux variables aléatoires indépendantes, suivant toutes deux la loi exponentielle
de paramètre l. On pose Z = |X − Y |.
1. Déterminer une densité de −Y .
2. Déterminer une densité de X − Y .
3. Vérifier que Z suit une loi exponentielle.
Solution.
1. On a, pour tout réel y,
F −Y (y) = P([−Y y]) = P([Y −y]) = 1 − P([Y < −y]) = 1 − F Y (−y).
Si y 0, alors −y 0, donc F Y (−y) = 0 et F −Y (y) = 1.
Si y < 0, alors −y > 0 donc F −Y (y) = P([Y −y]) = e
ly .
La fonction F −Y est continue sur R et de classe C
1 sur R
∗ donc −Y possède une densité
obtenue en dérivant F Y . On obtient
f −Y (y) =
le
lx
si y < 0
0
siy 0.
2. Les variables X et Y sont indépendantes. Il en est de même de X et −Y . On obtient donc
une densité de U = X − Y = X + (−Y ) en utilisant le théorème 6. On obtient, pour tout
u ∈ R,
f U (u) =
+∞
−∞
f X (x)f −Y (u − x) dx =
+∞
0
le
−lx f −Y (u − x) dx,
car f X est nulle sur R − . La fonction f −Y est nulle sur R + . Ainsi f −Y (u − x) = 0 équivaut à
u − x < 0, i.e. x > u.
Si u < 0, cette condition est réalisée pour tout x 0 et on trouve
f U (u) =
+∞
0
le
−lx le
l(u−x) dx = e
lu
+∞
0
l
2 e
−2lx dx = e
lu
−l
2
e
−2lx
+∞
0
=
l
2
e
lu .
Si u 0, on obtient
f U (u) = e
lu
+∞
u
l
2 e
−2lx dx = e
lu
−l
2
e
−2lx
+∞
u
=
l
2
e
−lu .
3. La variable aléatoire Z est à valeurs dans R + donc F Z (z) = 0 si z ∈ R
∗
− . Si z 0, on a
F z (z) = P([Z z]) = P([−z U z]) =
z
−z
f U (u) du
=
0
−z
l
2
e
lu du +
z
0
l
2
e
−lu du =
1
2
e
lu
0
−z
+
1
2
−e
−lu
z
0
=
1
2
1 − e
−lz
− e
−lz + 1
= 1 − e
−lz .
La variable Z suit donc la loi exponentielle de paramètre l.
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