© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
Variables aléatoires fonctions d’un couple de variables à densité
canonique : ax
2 + 2bx + c = a
x
2 + 2
b
a
x
+ c = a
x +
b
a
2
+
ac − b
2
a
· En faisant le changement de variable
t =
√
a
x +
b
a
dans l’intégrale, on obtient
fZ (z) =
1
2pss √
a
exp
b
2 − ac
a
+∞
−∞
e
−t
2
dt =
1
2
√
pss √
a
exp
b
2 − ac
a
,
car
+∞
−∞
e
−t
2
dt =
√
p (intégrale de Gauss).
On simplifie
b
2 − ac =
(ms 2 + (z − m )s
2 )
2 − (s
2 + s 2 )(m
2 s 2 + (z − m )
2 s
2 )
4s 4 s 4
=
s
2 s 2 (2m(z − m ) − m
2 − (z − m )
2 )
4s 4 s 4
= −
(z − m − m )
2
4s 2 s 2
et donc
b
2 − ac
a
=
−(z − m − m )
2
2(s 2 + s 2 )
.
On obtient enfin
fZ (z) =
1
2p(s 2 + s 2 )
exp
−(z − m − m )
2
2(s 2 + s 2 )
.
On reconnaît la densité de la loi N (m + m , s
2 s 2 ).
❑
Corollaire 2
Soit X 1 , X 2 , . . . , X n des variables aléatoires indépendantes telles que, pour tout k ∈ [[1, n]]
X k suive la loi normale de paramètres (m k , s
2
k ). Alors la variable
n
k=1
X k suit la loi normale
de paramètre
n
k=1
m k ,
n
k+1
s
2
k
.
Preuve
On le montre par récurrence sur n ∈ N ∗ . Le cas n = 1 est évident et le cas n = 2 résulte du théorème.
Supposons la propriété démontrée au rang n et considérons n + 1 variables aléatoires indépendantes
X1, X2, . . . , Xn+1 telles que, pour tout k ∈ [ [1, n + 1] ], X k suive la loi normale de paramètres (m k , s
2
k
). Alors les
variables X1, X2, . . . , Xn sont encore indépendantes et par hypothèse de récurrence, la variable aléatoire
n
k=1
X k
suit la loi normale de paramètre
n
k=1
m k ,
n
k+1
s
2
k
. D’après le lemme des coalitions, les variables
n
k=1
X k et
Xn+1 sont indépendantes. On en déduit, en appliquant le théorème que leur somme
n+1
k=1
X k suit la loi normale
de paramètre
n
k=1
m k + mn+1,
n
k=1
s
2
k + s
2
n+1
=
n+1
k=1
m k ,
n+1
k=1
s
2
k
.
❑
En utilisant le théorème 6 ou le lemme 1, on peut déterminer la densité de g(X, Y ),
où les variables X et Y sont indépendantes, dans des cas simples, par exemple
g(X, Y ) = X − Y ou g(X, Y ) = XY .
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Variables aléatoires fonctions d’un couple de variables à densité
canonique : ax
2 + 2bx + c = a
x
2 + 2
b
a
x
+ c = a
x +
b
a
2
+
ac − b
2
a
· En faisant le changement de variable
t =
√
a
x +
b
a
dans l’intégrale, on obtient
fZ (z) =
1
2pss √
a
exp
b
2 − ac
a
+∞
−∞
e
−t
2
dt =
1
2
√
pss √
a
exp
b
2 − ac
a
,
car
+∞
−∞
e
−t
2
dt =
√
p (intégrale de Gauss).
On simplifie
b
2 − ac =
(ms 2 + (z − m )s
2 )
2 − (s
2 + s 2 )(m
2 s 2 + (z − m )
2 s
2 )
4s 4 s 4
=
s
2 s 2 (2m(z − m ) − m
2 − (z − m )
2 )
4s 4 s 4
= −
(z − m − m )
2
4s 2 s 2
et donc
b
2 − ac
a
=
−(z − m − m )
2
2(s 2 + s 2 )
.
On obtient enfin
fZ (z) =
1
2p(s 2 + s 2 )
exp
−(z − m − m )
2
2(s 2 + s 2 )
.
On reconnaît la densité de la loi N (m + m , s
2 s 2 ).
❑
Corollaire 2
Soit X 1 , X 2 , . . . , X n des variables aléatoires indépendantes telles que, pour tout k ∈ [[1, n]]
X k suive la loi normale de paramètres (m k , s
2
k ). Alors la variable
n
k=1
X k suit la loi normale
de paramètre
n
k=1
m k ,
n
k+1
s
2
k
.
Preuve
On le montre par récurrence sur n ∈ N ∗ . Le cas n = 1 est évident et le cas n = 2 résulte du théorème.
Supposons la propriété démontrée au rang n et considérons n + 1 variables aléatoires indépendantes
X1, X2, . . . , Xn+1 telles que, pour tout k ∈ [ [1, n + 1] ], X k suive la loi normale de paramètres (m k , s
2
k
). Alors les
variables X1, X2, . . . , Xn sont encore indépendantes et par hypothèse de récurrence, la variable aléatoire
n
k=1
X k
suit la loi normale de paramètre
n
k=1
m k ,
n
k+1
s
2
k
. D’après le lemme des coalitions, les variables
n
k=1
X k et
Xn+1 sont indépendantes. On en déduit, en appliquant le théorème que leur somme
n+1
k=1
X k suit la loi normale
de paramètre
n
k=1
m k + mn+1,
n
k=1
s
2
k + s
2
n+1
=
n+1
k=1
m k ,
n+1
k=1
s
2
k
.
❑
En utilisant le théorème 6 ou le lemme 1, on peut déterminer la densité de g(X, Y ),
où les variables X et Y sont indépendantes, dans des cas simples, par exemple
g(X, Y ) = X − Y ou g(X, Y ) = XY .
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